NP-độ cứng mạnh thực sự có thể được hiển thị bằng cách sử dụng giảm polytime đơn giản?

Gần đây tôi đã đọc một bằng chứng có ý định chỉ ra rằng một vấn đề là NP-hard mạnh, chỉ đơn giản bằng cách giảm nó (trong thời gian đa thức) từ một vấn đề NP-hard mạnh. Điều này không có ý nghĩa gì với tôi. Tôi đã nghĩ rằng bạn phải chứng minh rằng bất kỳ số nào được sử dụng để giảm và các trường hợp của vấn đề bạn đang giảm đều bị giới hạn về mặt chính trị trong quy mô vấn đề.

Sau đó tôi thấy rằng Wikipedia đã đưa ra hướng dẫn chung cùng cho loại giấy tờ chứng minh, nhưng tôi đã không thực sự thuyết phục cho đến khi tôi thấy Garey & Johnson nói về cơ bản là giống nhau. Nói một cách cụ thể, họ nói rằng, Nếu If là NP-hard theo nghĩa mạnh và tồn tại một phép biến đổi đa thức giả từ thành , thì là NP-hard theo nghĩa mạnh, Rằng và Theo lưu ý, theo định nghĩa, thuật toán thời gian đa thức cũng là thuật toán thời gian giả đa thức. "Π Π ' Π $\Pi$$\Pi$$\Pi'$$\Pi'$

Tất nhiên, tôi nhận được lời của Garey & Johnson trên chiếc máy này Tôi chỉ không hiểu làm thế nào nó có thể đúng, đó là điều tôi muốn giúp đỡ. Đây là lý do của tôi (có lẽ là thiếu sót)

Có những vấn đề NP-đầy đủ mạnh mẽ, và tất cả những vấn đề này (theo định nghĩa) mạnh mẽ NP-hard cũng như NP-Complete. Mọi vấn đề hoàn thành NP có thể (theo định nghĩa) có thể được giảm xuống thành bất kỳ vấn đề nào khác trong thời gian đa thức (và do đó là giả ngẫu nhiên). Do đó, theo các tuyên bố của Garey & Johnson, do đó, dường như mọi vấn đề hoàn thành NP đều hoàn toàn NP, và do đó, mọi vấn đề NP-hard đều là NP-hard. Điều này, tất nhiên, làm cho khái niệm về độ cứng NP mạnh mẽ trở nên vô nghĩa, vậy tôi còn thiếu điều gì?

Chỉnh sửa / cập nhật (dựa trên câu trả lời của Tsuyoshi Ito):

Yêu cầu (d) từ định nghĩa của phép biến đổi đa thức (giả) của Garey & Johnson (loại giảm cần thiết để tạo độ cứng NP theo nghĩa mạnh) là cường độ số lớn nhất trong trường hợp kết quả là giới hạn đa thức, như là một hàm của kích thước vấn đề và cường độ số tối đa của bản gốc. Tất nhiên, điều này có nghĩa là nếu vấn đề ban đầu là NP-hard theo nghĩa mạnh (nghĩa là, ngay cả khi cường độ số của nó bị giới hạn đa thức trong kích thước vấn đề), điều này cũng sẽ đúng với vấn đề bạn giảm. Điều này không nhất thiết là trường hợp giảm polytime thông thường (nghĩa là, không có yêu cầu bổ sung này).

Theo thuật ngữ trong bài báo của Garey và Johnson, các phép biến đổi thời gian đa thức không nhất thiết là các phép biến đổi đa thức giả vì nó có thể vi phạm mục (d) trong Định nghĩa 4.

Để mở rộng câu trả lời của Tsuyoshi:

Trong bối cảnh của Garey và Johnson, hãy xem xét một sự chuyển đổi từ PHẦN THAM GIA (trang 47, Phần 3.1) sang LỊCH TRÌNH ĐA NĂNG (trang 65, Phần 3.2.1, Mục (7)).

Việc chuyển đổi (theo hạn chế) liên quan đến việc đặt . Nhưng nếu độ dài của các tác vụ, , quá lớn , thì không thể tồn tại một đa thức hai biến sao cho, , Max` (Max Độ dài (tức là mục (d) trong định nghĩa của phép biến đổi đa thức giả).l(một)q2∀tôi∈DΠ[f(I)]≤q2[I],[I]$D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$$l(a)$$q_2$$\forall I \in D_{\Pi}$$[f(I)] \le q_2$$[I],$$[I])$

Ví dụ, chỉ cần xem xét một thể hiện của đa Scheduling nơi giá trị của tất cả các là hàm mũ trong số các (ví dụ: ). Bạn vẫn đang thao túng cùng một số "đối tượng tổ hợp" (có thể nói), nhưng tất cả chúng đều cực kỳ lớn. Do đó, NP-hoàn thành, nhưng không mạnh mẽ hoàn thành NP.l ( a ) | Một $l(a)$$l(a)$$|A|$

Bạn có thể muốn đọc Wikipedia về một chủ đề liên quan . Chẳng hạn, chúng ta có một thuật toán thời gian đa thức dựa trên lập trình động cho bài toán KNAPSACK hoàn thành NP - ít nhất, miễn là các con số đủ nhỏ. Khi các con số trở nên quá lớn, thuật toán "đa thức thời gian" này sẽ hiển thị "hành vi theo cấp số nhân". (G & J, trang 91, Phần 4.2)