Tài liệu tham khảo cho tính không xác định của mô đun chức năng liên tục trong PCF?

Ai đó có thể chỉ cho tôi tham chiếu về tính không xác định của mô đun chức năng liên tục trong PCF không? $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bool}{\mathsf{bool}}$

Andrej Bauer đã viết một bài đăng blog rất hay để khám phá một số vấn đề chi tiết hơn, nhưng tôi sẽ tóm tắt chỉ một chút bài đăng của anh ấy để cho mượn một số bối cảnh cho câu hỏi này. Các Baire không gian $B$ là tập hợp các chuỗi số tự nhiên, hoặc tương đương với tập hợp các hàm từ Naturals để bẩm $\N \to \N$ . Đối với câu hỏi này, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn sự chú ý của chúng tôi vào các luồng có thể tính toán được.

Bây giờ, một hàm $f : B \to \bool$ là liên tục nếu với mỗi $xs \in B$ , giá trị của $f(xs)$ chỉ phụ thuộc vào một số hữu hạn các phần tử của $xs$ và nó có thể tính toán liên tục nếu chúng ta thực sự có thể tính toán được một giá trị trên ràng buộc vào bao nhiêu phần tử của $xs$ là cần thiết. Trong một số mô hình tính toán, thực tế có thể viết chương trình $\mathsf{modulus} : (B \to \bool) \to B \to \N$ , có chức năng tính toán trên không gian Baire và một phần tử của không gian Baire, và trả lại giới hạn trên cho số lượng phần tử của luồng.

Một mẹo để thực hiện điều này là sử dụng bộ nhớ cục bộ để ghi chỉ mục tối đa vào luồng đã xem:

let modulus f xs =
  let r = ref 0 in
  let ys = fun i -> (r := max i !r; xs i) in 
    f ys;
    !r

Tất nhiên, ysđối số không còn là một chương trình chức năng đơn thuần. Quan tâm của tôi trong chương trình này xuất phát từ thực tế là nó chỉ làm cho sử dụng các cửa hàng địa phương, và do đó là extensionally tinh khiết. Tôi làm việc (trong số những thứ khác) lập trình mệnh lệnh bậc cao, và đang thiết kế các lý thuyết loại có thể phân loại đây là một hàm thuần túy.

Cũng có nhiều ví dụ thực tế hơn, liên quan đến những thứ như ghi nhớ và tổng hợp kết nối, nhưng tôi thấy đây là một ví dụ đặc biệt đẹp.

Bằng chứng được giấu ở đâu đó trong Troelstra và van Dalen, Cấu trúc luận trong toán học, tập 2, tôi cho là vậy. Nhiều khả năng, nó có thể được tìm thấy trong các cuộc điều tra của Troelstra , nếu bạn có thể đặt tay lên nó.

Nó đi như thế này. Giả sử chúng ta có thể định nghĩa mô đun liên tục trong kiểu gõ -calculus với các toán tử fixpoint. Sau đó, chúng ta có thể diễn giải nó trong một mô hình thực tế lý thuyết miền, ví dụ như trong trong đó là mô hình đồ thị của Scott. Trong mô hình này, nguyên tắc lựa chọn là hợp lệ. Nhưng người ta biết rằng cùng với tính mở rộng của các hàm (có trong mọi mô hình khả thi) không tương thích với sự tồn tại của mô đun liên tục. Nếu tôi có một chút thời gian, tôi sẽ điền vào các chi tiết sau.$\lambda$$\mathsf{PER}(\mathcal{P}\omega)$$\mathcal{P}\omega$$AC_{2,0}$$AC_{2,0}$

Xem thêm M. Escardo, T. Strerich: Trong khả năng thực hiện tên miền, không phải tất cả các chức năng đều liên tục , được xuất bản trong Tạp chí Logic toán học hàng quý, tập 48, số Bổ sung 1, trang 41-44, 2002 .