Thêm số nguyên được đại diện bởi yếu tố của họ có khó như bao thanh toán? Yêu cầu tham khảo

Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo cho kết quả sau:

Thêm hai số nguyên trong biểu diễn bao thanh toán cũng khó như bao thanh toán hai số nguyên trong biểu diễn nhị phân thông thường.

(Tôi khá chắc chắn rằng nó ở ngoài đó bởi vì đây là điều mà tôi đã tự hỏi tại một số điểm, và sau đó rất phấn khích khi cuối cùng tôi đã nhìn thấy nó được in.)

"Thêm hai số nguyên trong biểu diễn bao thanh toán" là vấn đề: đưa ra các thừa số nguyên tố của hai số và , đưa ra hệ số nguyên tố của . Lưu ý rằng thuật toán ngây thơ cho vấn đề này sử dụng hệ số hóa trong biểu diễn nhị phân chuẩn làm chương trình con.y x + $x$$y$$x+y$

Cập nhật : Cảm ơn Kaveh và Sadeq về bằng chứng. Rõ ràng là càng có nhiều bằng chứng về merrier, nhưng tôi cũng muốn khuyến khích nhiều sự giúp đỡ hơn trong việc tìm kiếm một tài liệu tham khảo , như tôi đã nói tôi khá chắc chắn tồn tại. Tôi nhớ lại việc đọc nó trong một bài báo với những ý tưởng thú vị và không thường được thảo luận trong đó, nhưng tôi không nhớ những ý tưởng khác đó là gì hoặc nói chung về bài báo.

Giả sử rằng chúng ta có thể giải quyết vấn đề (hãy gọi nó là FactSum) trong lớp phức tạp và C được đóng theo tiêu chuẩn log (hay còn gọi là đệ quy log- loged) (ví dụ: nếu chúng ta có thể tính x ∗ y trong đó ∗ là hàm nhị phân, chúng ta có thể tính x 1 * ... * x log n ) và chứa P (điều kiện cuối cùng này có thể được thực hiện yếu). Chúng tôi hiển thị thanh toán mà là ở cũng ở C .$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

Lưu ý rằng mỗi số có thể được viết dưới dạng một khoản quyền hạn của 2 . Mỗi người trong số họ là yếu tố dễ dàng.$\log n$$2$

Bây giờ được đưa ra một số, viết nó dưới dạng tổng lũy ​​thừa của nó, sau đó viết từng triệu hồi trong biểu diễn bao thanh toán, sau đó sử dụng thuật toán để tính tổng chúng trong biểu diễn bao thanh toán. Kết quả sẽ là bao thanh toán của số đầu vào.

Điều này cho thấy bao thanh toán có thể giảm khả năng vấn đề FactSum của bạn. Do đó bao thanh toán là trong P FactSum (và tôi nghĩ P có thể được thay thế bằng N C 1 ở đây).$\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

Tôi không biết về một tài liệu tham khảo, nhưng tôi nghĩ rằng tôi đã đưa ra một bằng chứng:

Giả sử bạn có một orory , trên đầu vào hai số được tính$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

và

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$,

đưa ra hệ số của .$x+y$

Có quyền truy cập vào , chúng ta có thể tính bất kỳ số N nào trong thời gian đa thức bằng cách sử dụng quy trình đệ quy sau.$\mathcal{O}$$N$

Yếu tố THỦ TỤC ( )$N$

1. Tìm số nguyên tố như vậy N / 2 ≤ x ≤ N - 1 , và để cho y = N - x .$x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. Nếu không phải là số nguyên tố, hãy lấy hệ số của y theo hệ số gọi đệ quy ( y ) và đầu ra O ( x , f a c t o r ( y ) ) .$y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. Khác đầu ra .$\mathcal{O}(x,y)$

Phân tích:

Theo định lý số nguyên tố cho đủ lớn , có rất nhiều số nguyên tố nằm giữa N / 2 và N - 1 . Nếu N nhỏ đến mức không có số nguyên tố nào rơi vào khoảng này, bạn có thể dễ dàng tính hệ số N. Do đó, bước 1 trôi qua.$N$$N/2$$N-1$$N$$N$

Trong bước 2, bạn có thể sử dụng AKS hoặc bất kỳ phép thử nguyên thủy thời gian đa thức nào khác.

Số lần đệ quy đơn giản là , vì tại mỗi bước N được cắt một nửa (ít nhất)$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

PS-1: Giả sử phỏng đoán của Goldbach có thể giúp tăng tốc thủ tục cho các số nguyên chẵn (và có thể là số lẻ).

PS-2: Mức giảm được sử dụng là mức giảm Cook. Người ta có thể quan tâm đến việc thực hiện bằng chứng bằng cách sử dụng giảm Karp.

Câu trả lời này là độc lập với câu trả lời trước đây của tôi . Mục tiêu của nó là giải quyết mối quan tâm của @ Kaveh trong các bình luận:

Nó rất dễ dàng để làm gì nếu chúng tôi muốn số, nhưng tôi không thấy làm thế nào để làm điều đó ngay cả với log log n số.$\log n$$\log \log n$

Tôi có một mối quan tâm tương tự:

Việc giảm sử dụng là giảm Cook. Người ta có thể quan tâm đến việc thực hiện bằng chứng bằng cách sử dụng giảm Karp.

(Việc giảm Karp là dành cho các vấn đề quyết định. Ở đây, bằng cách giảm Karp, ý tôi là giảm Cook truy vấn duy nhất. Xin lỗi vì thuật ngữ không chuẩn!)

Câu trả lời dưới đây dựa trên các cuộc thảo luận ở đây: /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval .

Trong câu trả lời này, tôi sẽ cung cấp một phép giảm Karp đa thức xác định từ bao thanh toán sang bao thanh toán tổng của hai số nguyên được biểu thị bằng các thừa số của chúng . Mặc dù có một nhược điểm: Trong quá trình chứng minh, tôi sẽ sử dụng giả định lý thuyết số sau đây:

Phỏng đoán của Cramér : với bất kỳ hai số nguyên tố liên tiếp và p n + 1 , ta có p n + 1 - p n = O ( log 2 p n ) .$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

$x$$[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

$0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

$(x,y)$$N = x+y$