Có bất kỳ khái quát của phù hợp trọng lượng tối đa đã được nghiên cứu?

8

Ví dụ: một cách để xem kết hợp trọng lượng tối đa là mỗi đỉnh có một tiện ích bằng với trọng số của cạnh mà nó khớp với và bằng không. $v$ $f_v= w(e_v)$

theo đó, một kết hợp trọng lượng tối đa sau đó có thể được xem là tối đa hóa mục tiêu . $\sum_v f_v$

Có bất kỳ khái quát nào về kết hợp trọng lượng tối đa đã được nghiên cứu xem xét các hàm mục tiêu tổng quát hơn bằng cách sử dụng có trọng số, đa biến hoặc phi tuyến ? $f_v$

Các biến thể khác đã được nghiên cứu là khái quát theo một cách khác?

lời cầu xin cung cấp tài liệu tham khảo nếu có!

ds.algorithms graph-theory

— Carter Tazio Schonwald
nguồn

Làm rõ: Bạn có muốn khái quát hóa theo nghĩa các giải pháp khả thi là khớp, nhưng chức năng mục tiêu của bạn khác với các kết hợp tối đa thông thường (giống như trường hợp kết hôn ổn định)? Hoặc khái quát hóa theo nghĩa là các giải pháp khả thi cũng là một số loại khái quát hóa hoặc thư giãn của các kết hợp (một cái gì đó giống như các bộ độc lập hoặc so khớp phân đoạn)?

— Jukka Suomela

Trước đây, tôi quan tâm đến các chức năng khách quan khác nhau.

— Carter Tazio Schonwald

thưởng điểm tuyệt vời cho việc trốn tránh NP khó hoặc hoàn thành

— Carter Tazio Schonwald

4

Khớp trọng lượng tối đa trên tương đương với tập độc lập trọng lượng tối đa trên biểu đồ đường của và có thể được viết như sau $G$ $G$

max_{x} \prod_{i j \in E} f_{i j} (x_{i}, x_{j})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{ij \in E} f_{ij}(x_i,x_j)$

Ở đây là một vectơ của nghề nghiệp đỉnh, trả về 0 nếu x = y = 1, 1 nếu x = y = 0, mặt khác, trọng số của nút không bằng 0. Bạn có thể khái quát hóa bằng cách cho phép các lựa chọn khác của và , chẳng hạn $\mathbf{x}\in\{0,1\}^n$ $f_{ij}(x,y)$ $\mathbb{x}$ $f$

Tô màu thích hợp lớn nhất $\mathbf{x}\in \{1,\ldots,q\}^n, f(x,y)=\delta(x-y)$
Mô hình trạng thái cơ bản $\mathbf{x}\in \{1,-1\}^n, f(x,y)=\exp(J x y)$

Nếu bạn cho phép không âm tùy ý , điều này trở thành vấn đề tìm kiếm cài đặt biến có khả năng nhất trong trường ngẫu nhiên Gibbs với đại diện cho tiềm năng tương tác cạnh. Tổng quát hóa hơn nữa cho siêu dữ liệu, mục tiêu của bạn trở thành $f$ $f$

max_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{e})

$\max_{\mathbf{x}} \prod_{e \in E} f_{e}(x_e)$

Ở đây là một tập hợp các cạnh siêu (bộ dữ liệu của các nút) và là giới hạn của đối với các nút trong hyperedge . $E$ $x_e$ $x$ $e$

Thí dụ:

Sửa lỗi giải mã, $\mathbf{x} \in \{1,\ldots,q\}^n, f(x_e)=\exp{\text{parity} (x_e)}$
Suy luận MAP trong mô hình xác suất cấu trúc siêu dữ liệu, hàm không âm tùy ý $f$

Tổng quát theo hướng khác, giả sử thay vì khớp tối đa duy nhất, bạn muốn tìm khớp tối đa có trọng số cao nhất. Đây là một ví dụ đặc biệt của việc tìm giải thích có thể xảy ra nhất trong một mô hình xác suất. Mục tiêu có thể được viết là $m$ $k$

s o r t_{x} \prod_{e \in E} f_{e} (x_{i}, x_{j})

$sort_\mathbf{x} \prod_{e \in E} f_{e}(x_i,x_j)$

Xem [ Flerova, 2010 ] để biết ý nghĩa của mục tiêu ở trên.

Nói chung, thay vì sắp xếp, hoặc trên thực tế, chúng ta có thể xem xét một giao dịch giao hoán chung trong đó và là các hoạt động trừu tượng tuân theo luật liên kết và phân phối. Mục tiêu chúng ta có được bây giờ là $\prod$ $\max,\prod$ $(\cdot,+)$ $\cdot$ $+$

⨁_{x} ⨂_{e} f_{e} (x)

$\bigoplus_x \bigotimes_e f_e(x)$

Ở đây, được lấy trên tất cả các cạnh của một số siêu dữ liệu trên nút, được lấy trên -tuples các giá trị, mỗi đưa 's thành và tạo thành một giao dịch giao hoán -nhẫn $\bigotimes$ $G$ $n$ $\bigoplus$ $n$ $f_e$ $x$ $E$ $(\bigotimes,\bigoplus,E)$

Ví dụ:

Chức năng phân vùng của các mô hình tương tác spin: sử dụng thay vì $(*,+)$ $(\max,+)$
Chuyển đổi Fourier nhanh qua các nhóm Abelian: sử dụng các nhóm abelian thay vì $\mathbb{R}$

Điều mang lại tất cả những khái quát này là thuật toán được biết đến nhiều nhất cho các trường hợp cụ thể của vấn đề ở trên thường giống như thuật toán chung nhất, đôi khi được gọi là "Luật phân phối tổng quát" [ Aji, 2000 ], hoạt động trong thời gian cho siêu dữ liệu chiều rộng cây giới hạn. $O(1)$

Điều này đặt giải pháp chính xác cho các vấn đề ở trên trong một khung thống nhất, tuy nhiên khung đó cho giải pháp gần đúng là thiếu (và tôi muốn nghe về nó nếu bạn nghĩ khác)

— Ba Tư
nguồn

cảm ơn! đây là loại câu trả lời mà tôi đã hy vọng nhận được :)

— Carter Tazio Schonwald

8

Có một số phần mở rộng của vấn đề cho các cấu trúc chung hơn. Ví dụ:

Kết hợp Matroid ( ghi chú bài giảng , kết hợp Matroid và một số ứng dụng , Kết hợp Matroid: Sức mạnh của Tìm kiếm Địa phương )
Kết hợp đường dẫn (Sự cố khớp đường dẫn , Kết hợp, matroid và tiện ích mở rộng )
Kết hợp siêu dữ liệu (Không thể tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo tốt nào)

Nói chung, các phần mở rộng này là NP-hard.

— Ian
nguồn

một ví dụ điển hình của một bó không thể xâm nhập là gì?

— Carter Tazio Schonwald

Có một số trường hợp đặc biệt không thể xâm nhập. Kết hợp Matroid có thể giải quyết được đối với matroid tuyến tính (xem "Kết hợp Matroid và một số ứng dụng" ở trên), cũng như khớp đường dẫn cho một số hàm trọng số (xem "Ghép, matroid và tiện ích mở rộng" ở trên).

— Ian

7

Một tiện ích mở rộng thú vị (mặc dù có thể nó được bạn biết đến nhiều) là biến thể cho phép khớp một phần các đỉnh với các đỉnh khác (trong cài đặt lưỡng cực). Biến thể này cũng có thể được giải quyết bằng thuật toán Hungary và được gọi là vấn đề vận chuyển (số liệu kết quả được gọi là chỉ số vận chuyển, khoảng cách động đất, khoảng cách Monge-Kantorovich-Wasserstein hoặc khoảng cách Mallows, tùy thuộc vào ai bạn hỏi).

— Suresh Venkat
nguồn

tuyệt, tôi sẽ xem xét bó đó. Tôi sẽ đợi một ngày trước khi chọn nó làm câu trả lời trong trường hợp một thứ khác thú vị xuất hiện và đáng để xem xét

— Carter Tazio Schonwald

Đây là một upvote trong thời gian trung bình

— Carter Tazio Schonwald

5

Tuy nhiên, một vấn đề cổ điển khác có thể được hiểu là một vấn đề khớp với hàm mục tiêu lạ là khớp tối đa tối thiểu . $f_v$

Ở đây bạn có thể định nghĩa như sau: nếu không và liền kề với một nút chưa từng có khác; nếu được khớp; và nếu không khớp nhưng không liền kề với bất kỳ nút nào chưa từng có. $f_v$ $0$ $v$ $n$ $v$ $n+1$ $v$

Bây giờ giá trị của hàm mục tiêu là nếu khớp là tối đa; mặt khác nó nhỏ hơn . Do đó tối đa hóa trên tất cả dẫn đến kết quả tối đa nhỏ nhất . $\sum_v f_v$ $n^2 + n - 2|M| \ge n^2$ $M$ $n^2$ $\sum_v f_v$ $M$ $M$

Tìm một kết hợp tối đa nhỏ nhất là một vấn đề tối ưu hóa NP-hard, vì vậy chúng tôi hoàn toàn có thể nói rằng đó không chỉ là vấn đề khớp trọng lượng tối đa thông thường được ngụy trang. Một lần nữa, lưu ý rằng là "không cục bộ" theo nghĩa là nó không phải là hàm của bị giới hạn trong các sự cố cạnh đối với . $f_v$ $M$ $v$

— Jukka Suomela
nguồn

Tôi tự hỏi nếu câu hỏi này nên được CW; Dường như người ta có thể tạo ra nhiều ví dụ tùy ý dọc theo các dòng này.

— Jukka Suomela

4

Nếu bạn muốn một cái gì đó không thể dễ dàng giảm xuống thành vấn đề phù hợp với trọng lượng tối đa, đây là một ví dụ: vấn đề hôn nhân ổn định .

Một cách giải thích là trong vấn đề hôn nhân ổn định, là "sự ổn định" của đỉnh ; nó là nếu là sự cố đối với cạnh không ổn định (cạnh chặn) và nếu không. Sau đó, mục tiêu là tìm một kết hợp tối đa hóa . (Và điều này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng thuật toán Gale của Shapley; tối ưu luôn là .) $f_v$ $v$ $0$ $v$ $1$ $\sum_v f_v$ $|V|$

Một tài sản quan trọng của việc này là nó không chỉ phụ thuộc vào đó cạnh sự việc cho được kết hợp, mà còn trên các nước láng giềng của các cạnh sự cố để . $f_v$ $v$ $v$

( Chỉnh sửa: Thuộc tính trên là điều cần thiết để có được thứ gì đó không chỉ là vấn đề khớp trọng lượng tối đa được ngụy trang. Lưu ý rằng nếu các giải pháp khả thi là khớp và nếu chỉ phụ thuộc vào sự cố cạnh nào với , thì chúng ta có thể xác định trọng số của cạnh như sau: tăng bao nhiêu nếu chúng ta thay thế một kết hợp trống bằng một khớp chỉ chứa cạnh . Một kết hợp trọng lượng tối đa wrt các trọng số này cũng tối đa hóa .) $f_v$ $v$ $w(e)$ $e = \{u,v\}$ $f_u + f_v$ $M = \emptyset$ $M' = \{e\}$ $e$ $\sum_v f_v$

— Jukka Suomela
nguồn

bạn có thể mở rộng định nghĩa của bạn về không? Ví dụ: trong trường hợp khớp trọng lượng tối đa, tôi đang sử dụng ( là cạnh v được gán) và trong trường hợp khi v không .

f_{v}

$f_v$

f_{v} = w (e_{v})

$f_v = w(e_v)$

e_{v}

$e_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

— Carter Tazio Schonwald

và w (e_v) là trọng lượng của e_v biên tất nhiên

— Carter Tazio Schonwald

Chà, bạn có biết định nghĩa về vấn đề hôn nhân ổn định không? Thông thường nó được xây dựng như sau: tìm một phù hợp sao cho không có "cạnh xấu" sao cho thích với đối tác hiện tại của mình (nếu có) và thích hơn với đối tác hiện tại của mình (nếu có) . Bây giờ hãy xác định như sau: let nếu là sự cố với "cạnh xấu" và nếu không thì hãy để . Một giải pháp ổn định nếu chúng ta có cho tất cả các nút.

M

$M$

(m, w)

$(m,w)$

m

$m$

w

$w$

w

$w$

m

$m$

f_{v}

$f_v$

f_{v} = 0

$f_v = 0$

v

$v$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

f_{v} = 1

$f_v = 1$

— Jukka Suomela

Jukka, những gì bạn thực sự muốn là có là một chức năng của sở thích xếp hạng của người đó. Ví dụ, đối với bất kỳ nào cũng phải là một hàm giảm về mức độ ưu tiên của chúng đặt mức độ phù hợp hiện tại của chúng. Có lẽ tôi đang hiểu nhầm điều gì đó

f_{v}

$f_v$

f_{v}

$f_v$

— Carter Tazio Schonwald

@Carter: Với định nghĩa của bạn, nếu bạn giải quyết vấn đề tối ưu hóa (đây chỉ là trường hợp đặc biệt của vấn đề khớp trọng lượng tối đa), bạn sẽ tối đa hóa "tổng hạnh phúc". Nhưng đây không phải là điều bạn muốn trong vấn đề hôn nhân ổn định! Một kết hợp ổn định không nhất thiết tối đa hóa hạnh phúc, nó tối đa hóa sự ổn định của giải pháp.

— Jukka Suomela

2

Nhiều biến thể và khái quát hóa được xem xét trong cuốn sách của Lovasz và Plummer .

— ha
nguồn