Luận văn Giáo hội mở rộng

Một trong những câu hỏi được thảo luận nhiều nhất trên trang web là Điều gì có nghĩa là để bác bỏ Luận án Giáo hội . Điều này một phần là do Dershowitz và Gurevich đã xuất bản một bằng chứng về Luận án Giáo hội là Bản tin Logic tượng trưng vào năm 2008 (Tôi sẽ không thảo luận về vấn đề này ở đây, nhưng để biết một liên kết và nhận xét sâu rộng, vui lòng xem câu hỏi ban đầu, hoặc - - tự quảng cáo không biết xấu hổ - một mục blog tôi đã viết.)

Câu hỏi này là về Luận án Giáo hội mở rộng , theo công thức của Ian Parberry, là:

Thời gian trên tất cả các kiểu máy "hợp lý" có liên quan đến đa thức.

Nhờ Giorgio Marinelli, tôi biết rằng một trong những đồng tác giả của bài báo trước đó, Dershowitz, và một nghiên cứu sinh của ông, Falkovich, đã xuất bản một bằng chứng về Luận án Giáo hội mở rộng, vừa xuất hiện tại hội thảo Phát triển Mô hình tính toán 2011 .

Tôi mới in tờ giấy sáng nay, và tôi đã đọc lướt nó, không có gì hơn. Các tác giả cho rằng các máy Turing có thể mô phỏng bất kỳ thiết bị tính toán tuần tự nào với hầu hết các chi phí đa thức. Tính toán lượng tử và tính toán song song quy mô lớn rõ ràng không được bảo hiểm. Câu hỏi của tôi liên quan đến tuyên bố sau trong bài báo.

Chúng tôi đã chỉ ra - như đã được phỏng đoán và được nhiều người tin tưởng - rằng mọi triển khai hiệu quả, bất kể nó sử dụng cấu trúc dữ liệu nào, đều có thể được mô phỏng bằng máy Turing, với độ phức tạp cao nhất theo thời gian.

Vì vậy, câu hỏi của tôi: điều này thực sự "được tin tưởng rộng rãi", ngay cả trong trường hợp tính toán tuần tự "thực sự" không có ngẫu nhiên? Nếu mọi thứ là ngẫu nhiên thì sao? Điện toán lượng tử sẽ là một ví dụ có khả năng, nếu trên thực tế nó có thể được khởi tạo, nhưng liệu có khả năng "yếu" hơn lượng tử cũng sẽ là phản mẫu không?

Chuẩn bị Rant

Tôi phải nói với bạn, tôi không thấy cách nói về "bằng chứng" của CT hay ECT thêm bất kỳ ánh sáng nào vào cuộc thảo luận này. Những "bằng chứng" như vậy có xu hướng chính xác như những giả định mà họ đặt ra --- nói cách khác, như những gì họ lấy những từ như "tính toán" hay "tính toán hiệu quả" nghĩa là gì. Vì vậy, tại sao không tiến hành ngay một cuộc thảo luận về các giả định, và phân phối với từ "bằng chứng"?

Điều đó đã rõ ràng với CT gốc, nhưng nó thậm chí còn rõ ràng hơn với ECT --- vì không chỉ ECT "không thể chứng minh về mặt triết học", mà ngày nay nó còn được cho là sai! Đối với tôi, điện toán lượng tử là một ví dụ lớn, rõ ràng phải là điểm khởi đầu cho bất kỳ cuộc thảo luận hiện đại nào về ECT, không phải là thứ gì đó bị gạt sang một bên. Tuy nhiên, bài báo của Dershowitz và Falkovich thậm chí không chạm vào QC cho đến đoạn cuối cùng:

Kết quả trên không bao gồm tính toán song song quy mô lớn, chẳng hạn như tính toán lượng tử, vì nó cho thấy có một ràng buộc cố định về mức độ song song, với số lượng thuật ngữ quan trọng được cố định bởi thuật toán. Câu hỏi về độ phức tạp tương đối [sic] của các mô hình song song sẽ được theo đuổi trong tương lai gần.

Tôi thấy những điều sai lệch ở trên: QC không phải là một "mô hình song song" theo bất kỳ ý nghĩa thông thường nào. Trong cơ học lượng tử, không có giao tiếp trực tiếp giữa các "quá trình song song" --- chỉ có sự giao thoa biên độ --- nhưng cũng dễ dàng tạo ra số lượng "quy trình song song" theo cấp số nhân. . thảo luận!

Bây giờ, về câu hỏi (thú vị) của bạn!

Không, tôi không biết bất kỳ ví dụ thuyết phục nào đối với ECT ngoài máy tính lượng tử. Nói cách khác, nếu cơ học lượng tử là sai (theo cách vẫn giữ vũ trụ "kỹ thuật số" hơn "tương tự" ở thang đo Planck --- xem bên dưới), thì ECT như tôi hiểu nó vẫn sẽ không "Có thể chứng minh" (vì nó vẫn sẽ phụ thuộc vào các sự kiện thực nghiệm về những gì có thể tính toán hiệu quả trong thế giới vật lý), nhưng nó sẽ là một giả thuyết hoạt động tốt.

Sự ngẫu nhiên hóa có lẽ không thách thức ECT vì nó được hiểu theo cách thông thường, vì bằng chứng mạnh mẽ ngày nay cho thấy P = BPP. (Mặc dù lưu ý rằng, nếu bạn quan tâm đến các cài đặt khác ngoài các vấn đề về quyết định ngôn ngữ --- ví dụ: các vấn đề quan hệ, cây quyết định hoặc độ phức tạp trong giao tiếp --- thì ngẫu nhiên có thể tạo ra sự khác biệt lớn. Và các cài đặt đó hoàn toàn hợp lý những người để nói về họ, họ không phải là những người thường nghĩ đến khi họ thảo luận về ECT.)

Một loại "phản mẫu" khác cho ECT thường được đưa ra liên quan đến điện toán tương tự hoặc "siêu". Quan điểm của riêng tôi là, theo sự hiểu biết tốt nhất hiện nay của chúng ta về vật lý, điện toán tương tự và siêu máy tính không thể mở rộng được, và lý do tại sao chúng không thể, trớ trêu thay, là cơ học lượng tử! Đặc biệt, trong khi chúng ta chưa có một lý thuyết hấp dẫn lượng tử, những gì được biết đến ngày nay cho thấy rằng có những trở ngại cơ bản để chạy hơn 10 ⁴³ bước tính toán mỗi giây hoặc giải quyết khoảng cách nhỏ hơn khoảng 10 ^-33 cm.

Cuối cùng, nếu bạn muốn đưa ra thảo luận bất cứ điều gì có thể là một thách thức hợp lý hoặc thú vị đối với ECT, và chỉ cho phép tính toán nối tiếp, rời rạc, xác định, thì tôi đồng ý với Dershowitz và Falkovich rằng ECT nắm giữ! :-) Nhưng ngay cả ở đó, thật khó để tưởng tượng một "bằng chứng chính thức" làm tăng sự tự tin của tôi đối với tuyên bố đó - vấn đề thực sự, một lần nữa, chỉ là những gì chúng ta dùng các từ như "nối tiếp", "rời rạc" và "xác định" nghĩa .

Đối với câu hỏi cuối cùng của bạn:

Điện toán lượng tử sẽ là một ví dụ có khả năng, nếu trên thực tế nó có thể được khởi tạo, nhưng liệu có khả năng "yếu" hơn lượng tử cũng sẽ là phản mẫu không?

Ngày nay, có rất nhiều ví dụ thú vị về các hệ thống vật lý dường như có thể thực hiện một số tính toán lượng tử, nhưng không phải tất cả (tạo ra các lớp phức tạp có thể là trung gian giữa BPP và BQP). Hơn nữa, nhiều trong số các hệ thống này có thể dễ dàng nhận ra hơn một QC phổ quát đầy đủ. Xem ví dụ bài viết này của Bremner, Jozsa, và Người chăn cừu, hoặc bài này của Arkhipov và tôi.

Câu trả lời này nhằm mục đích bổ sung cho câu trả lời của Scott Aaronson (mà tôi chủ yếu đồng ý).

Từ góc độ kỹ thuật, điều đáng chú ý là bài báo Dershowitz / Falkovich chỉ sử dụng từ "ngẫu nhiên" theo nghĩa "bộ nhớ truy cập ngẫu nhiên", và hơn nữa, bài viết không sử dụng từ "mẫu" (hoặc bất kỳ từ nào trong số đó các biến thể) ở tất cả. Thay vào đó, trọng tâm của phân tích Dershowitz / Falkovic chỉ giới hạn ở việc tính toán các hàm số.

Hạn chế này rất đáng chú ý vì phần lớn các tài nguyên tính toán STEM hiện đại (tôi sẽ nói) không tôn trọng các hạn chế đối với các hàm số, mà được dành để tạo các mẫu từ các phân phối (ví dụ, động lực phân tử, dòng chảy hỗn loạn, lan truyền gãy xương , các hệ thống quay ồn ào cả cổ điển và lượng tử, sóng truyền qua phương tiện ngẫu nhiên, v.v.).

Do đó, nếu "Luận án bảo vệ giáo hội mở rộng" (ECT) có liên quan đáng kể đến các tính toán STEM được định nghĩa rộng rãi, có lẽ hạn chế riêng đối với các hàm số phải được dỡ bỏ và một tuyên bố chung về ECT được đưa ra, bao gồm lấy mẫu tính toán (và xác nhận và xác minh của họ).

Phiên bản lấy mẫu tổng quát này của ECT có còn nằm trong phạm vi quan điểm của TCS như truyền thống đã hình thành không? Câu trả lời dường như là "có", theo Câu hỏi thường gặp về trao đổi ngăn xếp của TCS :

Chúng tôi giới thiệu với bạn mô tả của Nhóm lợi ích đặc biệt ACM về thuật toán và lý thuyết tính toán (SIGACT) ... TCS bao gồm rất nhiều chủ đề bao gồm tính toán xác suất ... Làm việc trong lĩnh vực này [TCS] thường được phân biệt bằng cách nhấn mạnh vào toán học kỹ thuật và sự nghiêm ngặt.

$\text{ECTT}$$\{0,1,+,\times\}$$\text{ECTT}$, nói rằng vị từ hợp lý này được thỏa mãn bởi chính xác những mô hình có thời gian dịch đa thức sang máy Turing. Như một tiên đề, nó không sai lệch theo nghĩa lý thuyết của chúng ta có thể mâu thuẫn với nó, miễn là lý thuyết này phù hợp để bắt đầu, nhưng tính đúng đắn của lý thuyết của chúng ta là sai lệch: có thể hình dung được một mô hình tính toán hợp lý không liên quan đến Máy Turing theo thời gian dịch đa thức. Cho phép phát hiện giả thuyết này có thể liên quan đến sự thay đổi trong suy nghĩ về những gì hợp lý, đó là cách tôi nhìn thấy khía cạnh chính thức. Nó có vẻ tầm thường khi nhìn lại nhưng tôi nghĩ đó là một điểm quan trọng để phân định toán học từ mọi thứ khác.

$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BPP}$$\text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{BQP}$$\text{P}$

Ví dụ: giả sử tôi tuyên bố đã chế tạo một máy có các yếu tố số và thời gian chạy của nó thỏa mãn một ràng buộc đa thức cụ thể. Máy nằm trong một hộp, bạn nạp số được ghi trên băng giấy và in ra các yếu tố. Không có nghi ngờ gì về việc nó hoạt động, vì tôi đã sử dụng nó để chiến thắng các thách thức RSA, tịch thu tiền điện tử, nhân tố số lượng lớn bạn chọn, v.v. Có gì trong hộp? Đây có phải là một loại máy tính mới tuyệt vời, hay nó là một máy tính bình thường chạy một số loại phần mềm mới tuyệt vời?

$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME}$$\text{P}_\text{CTC} = \text{PSPACE}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{PSPACE}$

$\text{P} \neq \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{P}_\text{CTC}$$\text{P} = \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{NP}$$\text{3SAT}$$\text{P}$

$\text{EXPTIME}$$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME} \neq \text{P}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{P} = \text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$

$\text{ECTT}$$\{\in\}$$\text{ECTT}$$\{\in\}$

$\text{ECTT}$