Tích chập nhanh trên các trường hữu hạn nhỏ

Các phương pháp được biết đến tốt nhất để tích chập tuần hoàn có độ dài trên một trường nhỏ, tức là khi | F | ≪ n ? Tôi đặc biệt quan tâm đến các trường có kích thước không đổi, hoặc thậm chí F = F 2 . Các tuyên bố và tài liệu tham khảo hiệu quả tiệm cận được đánh giá cao.$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

Bối cảnh: Đặt là một trường và n > 0 . Chúng ta nghĩ rằng các vectơ u ∈ F n có tọa độ được lập chỉ mục bởi Z n .$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

Các (cyclic) chập chiều dài qua F là sự chuyển đổi lấy u , v ∈ F n và xuất u * v ∈ F n , xác định bởi ( u * v ) i : = Σ j ∈ Z n v j u i - j , với số học chỉ số trên Z n .$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

Để thực hiện tích chập tuần hoàn trên các trường lớn, một phương pháp phổ biến là sử dụng Định lý chuyển đổi để giảm vấn đề của chúng tôi để thực hiện Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và sử dụng thuật toán FFT.

Đối với các trường hữu hạn nhỏ, DFT không được xác định do không có gốc thứ nguyên thủy của sự thống nhất. Người ta có thể làm được việc này bằng cách nhúng * các vấn đề trong một trường hữu hạn lớn hơn, nhưng nó không phải là rõ ràng rằng đây là cách tốt nhất để tiến hành. Ngay cả khi chúng tôi đi theo lộ trình này, thật tuyệt nếu biết ai đó đã tìm ra các chi tiết (ví dụ: chọn trường nào lớn hơn để sử dụng và áp dụng thuật toán FFT nào).$n$$^*$

Thêm:

Bằng cách 'nhúng' chập của chúng tôi vào, tôi một bình trong hai điều. Tùy chọn đầu tiên: người ta có thể chuyển đến một trường mở rộng trong đó các gốc nguyên thủy mong muốn của sự thống nhất được nối liền nhau và thực hiện phép chập ở đó. $^*$

Lựa chọn thứ hai: nếu trường bắt đầu của chúng tôi là theo chu kỳ, người ta có thể vượt qua một lĩnh vực cyclic của đặc trưng lớn - đủ lớn rằng nếu chúng ta xem xét các vectơ của chúng tôi cho là nằm ở F p ' , không có "bao quanh" xảy ra. (Tôi không chính thức, nhưng chỉ cần nghĩ về cách tính toán tích chập trên F 2 , rõ ràng chúng ta có thể thực hiện phép tích chập tương tự trên Z , và sau đó lấy câu trả lời mod 2.)$\mathbb{F}_{p'}$$\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$$\mathbb{Z}$

Cũng được thêm vào:

Nhiều thuật toán cho FFT và các vấn đề liên quan hoạt động đặc biệt tốt đối với các giá trị 'đẹp' của (và tôi muốn hiểu rõ hơn về tình huống này). $n$

Nhưng nếu người ta không cố gắng tận dụng các giá trị đặc biệt của , thì bài toán tích chập tuần hoàn về cơ bản là tương đương (bằng cách giảm dễ dàng liên quan đến nổ tung tuyến tính trong n ) thành tích chập thông thường; lần lượt này tương đương với phép nhân đa thức với hệ số trên F p . $n$$n$$\mathbb{F}_p$

Bằng cách tương đương này, người ta có thể sử dụng các kết quả, ví dụ, bài báo này của von zur Gathen và Gerhard (xây dựng công trình của Cantor), người sử dụng phương pháp tiếp cận trường mở rộng để có được độ phức tạp mạch bị ràng buộc bởi . Họ không nêu giới hạn của mình theo cách đặc biệt rõ ràng IMO, nhưng ràng buộc còn tệ hơn n ⋅ log 2 n ngay cả đối với F 2 . Một người có thể làm tốt hơn?$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Một bài báo gần đây của Alexey Pospov xuất hiện để đưa ra trạng thái của nghệ thuật. (Đây không phải là lần đầu tiên đạt được giới hạn mà tôi sẽ trích dẫn, nhưng nó đạt được chúng theo cách thống nhất cho các trường tùy ý và quan trọng không kém, nó nêu rõ các giới hạn, xem trang 3.)

Chúng ta có thể nhân hai degree- n đa thức trên một lĩnh vực độc đoán F sử dụng O ( n log $\bullet$$n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

$\bullet$

Nếu F hỗ trợ rời rạc Fourier Transform trật tự thích hợp, có nghĩa là, nếu F có một nguyên thủy N -thứ gốc rễ của sự hiệp nhất nơi N là đủ lớn (Tôi tin$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

$\bullet$

Luận án của Todd Mateer dường như cũng là một nguồn tài nguyên tuyệt vời để hiểu các tài liệu và ứng dụng của FFT cho phép nhân đa thức (cảm ơn Jug!); nhưng bạn phải đào nhiều hơn để tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm.