Mối quan hệ và sự khác biệt giữa Tính toán của các công trình quy nạp và Lý thuyết loại trực giác là gì?

Như đã nêu trong tiêu đề, tôi tự hỏi bất kỳ mối quan hệ và sự khác biệt giữa CIC và ITT. Ai đó có thể giải thích hoặc chỉ cho tôi một số tài liệu so sánh hai hệ thống này? Cảm ơn.

Tôi đã trả lời phần nào, nhưng tôi sẽ cố gắng đưa ra một cái nhìn tổng quan chi tiết hơn về chân trời lý thuyết kiểu, nếu bạn muốn.

Tôi hơi mơ hồ về các chi tiết lịch sử, vì vậy những độc giả có nhiều thông tin hơn sẽ phải tha thứ cho tôi (và sửa lỗi cho tôi!). Câu chuyện cơ bản là Curry đã phát hiện ra sự tương ứng cơ bản giữa các tổ hợp được gõ đơn giản (hay -terms) và logic mệnh đề, được Howard mở rộng để bao quát logic thứ nhất, và IIRC được phát hiện độc lập bởi de Bruijn trong các cuộc điều tra xung quanh hệ thống Automath có ảnh hưởng .$\lambda$

Hệ thống Automath là sự hoàn thiện của lý thuyết loại đơn giản của Giáo hội, mà chính nó là sự đơn giản hóa đáng kể của lý thuyết loại của Russel và Whitehead với các vũ trụ và tiên đề về tính khử . Đây là địa hình logic tương đối nổi tiếng vào những năm 1960.

Xác định quy tắc loại bỏ tương ứng. Sau đó, ông đã đưa ra một hệ thống nền tảng rất mạnh mẽ dựa trên các phán đoán như vậy, cho phép ông đưa ra một hệ thống nền tảng tương tự như Automath bằng cách sử dụng rất ít cấu trúc cú pháp. Girard nhận thấy rằng hệ thống này trái ngược nhau, khiến Martin-Löf chấp nhận các vũ trụ tiên đoán "kiểu Nga " , hạn chế nghiêm trọng tính biểu cảm của lý thuyết (bằng cách loại bỏ hiệu quả tiên đề về tính khử) và làm cho nó phức tạp hơn một chút (nhưng có lợi thế hơn làm cho nó phù hợp).

Các cấu trúc thanh lịch cho phép định nghĩa các ký hiệu logic không còn hoạt động nữa, điều đó đã khiến ML giới thiệu chúng ở một dạng khác, như các gia đình được xác định theo quy nạp . Đây là một ý tưởng rất mạnh mẽ, vì nó cho phép xác định mọi thứ từ bình đẳng phán đoán và toán tử logic đến số tự nhiên và kiểu dữ liệu chức năng khi chúng xuất hiện trong khoa học máy tính. Lưu ý rằng mỗi gia đình chúng tôi thêm giống như thêm một số tiên đề, cần phải được chứng minh là phù hợp trong từng trường hợp. Hệ thống này (các loại phụ thuộc + vũ trụ + họ quy nạp) thường là những gì được gọi là ITT .

Tuy nhiên, có một số thất vọng kéo dài, vì hệ thống cơ sở mạnh mẽ nhưng đơn giản không nhất quán và hệ thống kết quả phức tạp hơn và hơi yếu (theo nghĩa là rất khó để phát triển phần lớn khung toán học hiện đại trong đó). Enter Thierry Coquand, người cùng với giám sát viên Gerard Huet, đã giới thiệu Giải tích công trình (CoC) , phần lớn đã giải quyết các vấn đề này: một cách tiếp cận thống nhất về bằng chứng và loại dữ liệu, một hệ thống cơ sở mạnh mẽ (bắt buộc) và khả năng xác định "công trình "Của sự đa dạng logic hoặc toán học. Điều này cuối cùng đã trưởng thành thành một triển khai thực tế của một hệ thống được thiết kế như một sự thay thế hiện đại cho Automath, đỉnh cao là hệ thống Coq mà chúng ta biết và yêu thích.

Tôi đánh giá cao đề nghị này giấy căn bản về CoC, như Thierry biết một số tiền vô lý về lịch sử phát triển của lý thuyết loại, và có lẽ giải thích điều này tốt hơn nhiều so I. Bạn cũng có thể muốn kiểm tra mình bài viết về lý thuyết loại, mặc dù nó không giải thích sự tương ứng CH chi tiết.