Tìm một kết quả khớp có sự co lại sẽ giảm thiểu số lượng cung trong biểu đồ

Cho một đồ thị hỗn hợp $G=(V,E,A)$ với các cạnh $E$ và cung $A$ , tìm một kết quả khớp trong $E$ để giảm thiểu số lượng cung trong $G/M$ , trong đó $G/M$ thu được từ $G$ bằng cách hợp đồng các đỉnh khớp và loại bỏ cung song song.

Là (phiên bản quyết định của) vấn đề này NP-hoàn thành? Nó đã được nghiên cứu trong các tài liệu?

Tôi không biết ý định của bạn là cho phép các cạnh vô hướng trong E và các cung trong A song song hay không, nhưng cuối cùng nó không thành vấn đề. Trong câu trả lời này, chúng tôi giả định rằng bạn không cho phép các cạnh và cung song song.

Xét một trường hợp đặc biệt trong đó đối với mỗi cung trong A , A cũng chứa cung theo hướng ngược lại. Trong trường hợp này, chúng ta có thể bỏ qua sự định hướng của các cung và coi chúng là vô hướng. Chúng tôi gọi các cạnh trong E cạnh đen và cạnh trong A cạnh màu đỏ .

Ngay cả trong hai hạn chế này, vấn đề là NP-hoàn thành bằng cách giảm từ Max-2SAT. Hãy φ là một công thức 2CNF trong n biến với m mệnh đề. Xây dựng một đồ thị G với 3 n đỉnh v 1 , ... , v n , x 1 , ... , x n , ˉ x 1 , ... , ˉ x n như sau. G có 2$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$n cạnh đen: và ( v i , ˉ x i ) cho i = 1, Lôi , n . G có các cạnh màu đỏ. Đầu tiên, kết nối và cho i ≠ j bằng một cạnh màu đỏ. Tiếp theo, với mỗi biến phân biệt và , hãy xem xét bốn cặp chữ . Connect literals$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$vivjxixj(l,l')=(xi,xj),(xi, ˉ x j),( ˉ x i,xj),( ˉ x i, ˉ x j)ll'( ˉ l$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$và bởi một loại tia màu đỏ khi và chỉ khi khoản không xuất hiện trong φ .$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

Rõ ràng là chúng ta chỉ phải xem xét các kết hợp tối đa ở các cạnh màu đen để giảm thiểu số lượng các cạnh màu đỏ sau khi co lại. Rõ ràng là mọi M khớp tối đa trong các cạnh màu đen bao gồm n cạnh nối với cho i = 1, , n . Xác định kết hợp tối đa M này với gán sự thật . Thật dễ dàng để xác minh rằng sau khi ký hợp đồng M và loại bỏ các cạnh song song, biểu đồ có chính xác các cạnh màu đỏ, trong đó kl i ∈ { x i , ˉ x i } { l 1 , ... , l n } 4 ($v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$là số mệnh đề thỏa mãn bởi sự phân công sự thật này. Do đó, tối thiểu hóa số cạnh màu đỏ sau khi ký hợp đồng khớp với các cạnh màu đen tương đương với tối đa hóa số mệnh đề thỏa mãn.