Postselection trong lý thuyết phức tạp hình học

Bối cảnh: Theo tôi hiểu, trong lý thuyết phức tạp hình học, sự tồn tại của vật cản đóng vai trò là chứng chỉ chứng minh, có thể nói, đối với sự không tồn tại của một mạch tính toán hiệu quả cho hàm cứng rõ ràng trong bài toán ràng buộc thấp hơn đang được xem xét. Bây giờ có một số giả định khác cho các vật cản mà chúng phải ngắn, dễ xác minh và dễ xây dựng.

Câu hỏi: Câu hỏi của tôi là nói rằng tôi có một vấn đề mà tôi phỏng đoán là có thể giải quyết được trong thời gian đa thức. Sau đó, làm thế nào tôi có thể chỉ ra rằng không tồn tại sự cản trở cho vấn đề này, tức là nếu không có vật cản nào tồn tại thì vấn đề có thể được tính toán hiệu quả và nó thực sự là trong thời gian đa thức.

Cách tiếp cận: Tôi nghĩ, và tôi có thể sai trong khẳng định này, rằng cho thấy không có vật cản nào tồn tại có thể tương đương với việc giảm các vấn đề NP tiêu chuẩn đối với các vấn đề khác mà sự phức tạp vẫn chưa được biết, bằng chứng là chính chúng đang ở NP. Vì vậy, trong trường hợp đó, người ta có thể, nếu có thể, cho thấy các vật cản tồn tại khi người ta cố gắng giảm một vấn đề NP đối với vấn đề đang xem xét, theo cách đó, việc giảm là không thể khắc phục được. Ngoài ra, vai trò của postelection đóng vai trò gì trong tất cả những điều này? Có thể chỉ đơn giản là bài đăng chọn về sự không tồn tại của vật cản? Cảm ơn và tha thứ cho việc thiếu các tuyên bố chính xác trong cách tiếp cận và câu hỏi của tôi.

Chỉ là một ví dụ khác, hãy xem xét một vấn đề X mà chúng ta biết là ở P. Bây giờ, giả sử chúng ta không biết về vấn đề đó có thể giải quyết được trong thời gian đa thức, thì có thể, người ta có thể đưa ra khẳng định sau:

Vì không có vật cản nào tồn tại trong tính toán của X, chúng ta có thể nói rằng nó thuộc lớp P

Từ đó trở đi, vấn đề là sự phát hiện (tính toán) dễ dàng của những vật cản đó, nếu thậm chí còn tồn tại, sẽ cho thấy X không ở trong thời gian đa thức. Tuy nhiên, đi theo một cách khác, tức là phát hiện ra rằng không có vật cản nào tồn tại là một nhiệm vụ khó khăn.

Nó phụ thuộc vào những gì bạn có nghĩa là "tồn tại không có cản trở." Nếu bạn có nghĩa là "tắc nghẽn" theo nghĩa chung của một loại chứng chỉ chứng minh rằng vấn đề không nằm ở , thì tôi không biết làm thế nào để trả lời câu hỏi của bạn vì khái niệm "tắc nghẽn" vẫn còn mơ hồ. Nếu bạn có nghĩa là "tắc nghẽn" cụ thể theo nghĩa lý thuyết đại diện của Mulmuley-Sohoni, thì đây là câu trả lời:$P$

Với mục đích của câu trả lời này, chúng tôi có thể phân chia chương trình GCT Mulmuley-Sohoni thành hai bước:

1. Associate để và (hoặc các lớp học phức tạp mà bạn yêu thích) giống đại số và theo cách như vậy mà khi và chỉ khi là một -projection của .d e t V p e r m V d e t V p e r m ⊆ V d e t p e r m p d e $perm$$det$$V_{perm}$$V_{det}$$V_{perm} \subseteq V_{det}$$perm$$p$$det$

2. Tìm các vật cản lý thuyết biểu diễn để chỉ ra rằng trên thực tế .$V_{perm} \not\subseteq V_{det}$

Lưu ý rằng hàm ý trong (2) chỉ đi theo một hướng (sự tồn tại của sự tắc nghẽn ngụ ý không bao gồm các giống), vì vậy nó có thể là không phải là một -projection của nhưng không có vật cản đại diện lý thuyết tồn tại. Vì vậy, trong trường hợp này, chỉ cần chứng minh rằng không có vật cản nào tồn tại là không đủ để cho thấy là dễ dàng. Mặt khác, trong (1) việc đưa vào các giống đại số là cần thiết và đủ để đưa vào các lớp phức tạp.p d e t p e r $perm$$p$$det$$perm$

[Ở phía trên tất nhiên nhiều chi tiết đã được bỏ qua - sự phụ thuộc vào kích thước đầu vào, làm thế nào để nói về các lớp phức tạp thay vì , thực tế là sự bao gồm các giống tương đương với là approximable bởi -projections của , ... Nhưng điều cốt lõi vẫn đúng.]d e t p e r m p d e $P$$det$$perm$$p$$det$

Tôi cũng thích nghĩ theo cách này và tôi liên kết nó với phỏng đoán . Nó được đề cập ở đó hoặc ở đó (Tôi đang gặp khó khăn khi tìm các trang về phỏng đoán này vì tôi chỉ có thể đề cập đến nó với các biểu tượng toán học mà Google không thích).$P=NP\cap co-NP$

Một vấn đề nằm ở NP khi bạn có thể đưa ra một chứng chỉ cho câu trả lời "Đúng" (ví dụ: chu trình hamiltonian cho vấn đề TSP hoặc bài tập hợp lệ cho bài toán SAT). Đó là trong co-NP khi bạn có thể đưa ra một chứng chỉ cho câu trả lời "Sai" (ví dụ: "bằng chứng" rằng công thức SAT không thỏa đáng, một vết cắt xấu trong biểu đồ ngăn chặn sự tồn tại của chu kỳ hamilton, v.v. ..)

Trên thực tế, đó có thể là những "chướng ngại vật" mà bạn cũng có thể tham khảo. Và phỏng đoán này là về việc nói: một vấn đề trong NP là đa thức khi tôi biết vật cản là gì.

Bây giờ, "vật cản" có thể có nhiều dạng khác nhau. Đối với bài toán so khớp (là đa thức), nó có thể là một phân vùng của biểu đồ (xem đặc tính của biểu đồ của Tutte thừa nhận một kết hợp hoàn hảo ), hoặc nó có thể là chứng chỉ do Bổ đề của Farkas đưa ra cho lập trình tuyến tính (và các vấn đề về đồ thị có thể giảm với nó). Nó thực sự có thể là rất nhiều điều tuyệt vời, và vì vậy tôi thường "sử dụng" phỏng đoán này theo một hướng: Khi tôi không thể tìm thấy vật cản nào, tôi không suy luận rằng vấn đề của tôi là NP-Hard. Một số vật cản thực sự rất khó tìm ... Nhưng khi tôi có một thuật toán đa thức phức tạp cho một vấn đề, đôi khi tôi tin chắc rằng "phải có một bộ vật cản dễ hiểu, sẽ dễ hiểu hơn về thuật toán phức tạp".

Chà ... hai xu của tôi :-)

Nathann