Là đếm các nhóm tối đa trong một biểu đồ không thể so sánh # P-Complete?

Câu hỏi này được thúc đẩy bởi một câu hỏi MathOverflow của Peng Zhang . Valiant đã chỉ ra rằng việc đếm các nhóm tối đa trong một biểu đồ chung là # P-đầy đủ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta hạn chế các biểu đồ không tương thích (nghĩa là chúng ta muốn đếm các antichain tối đa trong một vị trí hữu hạn)? Câu hỏi này có vẻ tự nhiên đến mức tôi nghi ngờ rằng nó đã được xem xét trước đó, nhưng tôi chưa thể định vị được nó trong tài liệu.

— Timothy Chow
nguồn

Theo bản tóm tắt này cho "Độ phức tạp của việc cắt giảm và tính toán xác suất mà đồ thị được kết nối" (SIAM J. Comput. 12 (1983), tr. 777-788), đếm các chuỗi chống theo thứ tự từng phần là # P-hoàn thành. Tôi không có quyền truy cập vào bài viết này vì vậy tôi không thể biết liệu kết quả này có bao gồm các chuỗi chống tối đa hay không.

— mẹ ơi
nguồn

@ András: Tôi nghĩ rằng kết quả của họ là về việc đếm antichains (không nhất thiết phải là tối đa). Có thể dễ dàng nhận thấy rằng việc đếm các antichains tối đa cũng là # P-đầy đủ, nhưng tôi không thể nhìn thấy nó.

— Tsuyoshi Ito

@ András: Câu hỏi là về antichains tối đa, không phải antichains cardinality tối đa. Tôi chưa nghiên cứu về việc giảm bài báo, vì vậy có thể mức giảm của chúng cũng chứng minh tính hoàn chỉnh # P của việc đếm các antichain tối đa cùng một lúc, nhưng ít nhất chúng là những vấn đề khác nhau.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: bạn nói đúng, giấy Provan / Ball chỉ cho thấy rằng việc đếm antichains cardinality tối đa là # P-hard. Quay lại bảng vẽ ...

— András Salamon

Trên thực tế, nếu bạn nhìn vào bằng chứng, bạn sẽ thấy rằng tính đầy đủ của # P được chứng minh cho một nhóm các vị trí trong đó tất cả các antichain tối đa đều có cùng một số lượng. Cụ thể, bắt đầu với bất kỳ đồ thị lưỡng cực với đỉnh và xây dựng đồ thị lưỡng cực với đỉnh bằng cách thêm đỉnh mới và cạnh mới . Sau đó, nếu và là một phần của tập hợp đỉnh của , hãy xác định một vị trí trên bằng cách đặt nếu và

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$ và và liền kề trong . Vì vậy, điều này không trả lời câu hỏi của tôi.

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow