Một phần mở rộng của ràng buộc Chernoff

12

Tôi đang tìm kiếm một tài liệu tham khảo (không phải là bằng chứng, mà tôi có thể làm) cho phần mở rộng sau đây của Chernoff.

Cho $X_1,..,X_n$ là các biến ngẫu nhiên Boolean, không nhất thiết phải độc lập . Thay vào đó, đảm bảo rằng $Pr(X_i=1|C)<p$ cho mỗi $i$ và mọi sự kiện $C$ chỉ phụ thuộc vào $\{X_j|j\neq i\}$ .

$\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

Cảm ơn trước!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— Tò mò
nguồn

25

Những gì bạn muốn là Chernoff khái quát hóa ràng buộc, mà chỉ giả định cho bất kỳ tập con S của các chỉ số biến. Cái sau xuất phát từ giả định của bạn, vì với , $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$ Impagliazzo và Kabanets gần đây đã đưa ra một bằng chứng thay thế về ràng buộc của Chernoff, bao gồm cả bằng chứng tổng quát. Trong bài báo của họ, bạn có thể tìm thấy tất cả các tài liệu tham khảo phù hợp cho công việc trước đây:

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$ http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/ con / RANDOM2010.pdf

— Dana Moshkovitz
nguồn

Cảm ơn bạn đã làm rõ! Trong thực tế, tình trạng của họ được ngụ ý cả bởi những gì tôi có và bởi các mối tương quan tiêu cực. Vì vậy, nó thực sự mạnh hơn về mặt chất lượng (bằng cách nào đó tôi đã bỏ lỡ điểm đó khi tôi nghe nói chuyện Valentine). Bây giờ bằng chứng về những gì tôi cần trở nên quá ngắn, rằng tôi sẵn sàng đánh dấu câu hỏi của mình như đã trả lời, cảm ơn rất nhiều !!

— tò mò

3

Trong trường hợp của bạn, bạn có thể chỉ cần tạo một siêu dữ liệu phụ từ các biến của mình và sử dụng bất đẳng thức cổ điển của Azuma cho cùng một hiệu ứng. Để làm việc này, bạn chỉ cần

được ngụ ý bởi giả định của bạn.

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— MCH

7

Những điều gần nhất mà tôi biết trong tài liệu là phần mở rộng của giới hạn của Chernoff đối với các biến ngẫu nhiên có tương quan nghịch, ví dụ: xem cái này hay cái này . Chính thức, điều kiện của bạn có thể được thỏa mãn mà không có mối tương quan tiêu cực, nhưng ý tưởng là tương tự.

Bởi vì việc khái quát hóa của bạn không khó để chứng minh, có thể không ai bận tâm viết nó lên.

— Lev Reyzin
nguồn

Bạn nói đúng, đó cũng là lần gần nhất tôi tìm thấy (trong "Tập trung ... để phân tích ... Thuật toán"). Có điều là bản thảo của tôi đang trở nên quá dài, tôi rất muốn tránh một bản spin-off khác, nếu có thể. Nếu không, tôi không có lựa chọn nào khác ...

— tò mò

3

đây là những gì Phụ lục dành cho :)

— Lev Reyzin

2

Này các bạn, điều đó đã được chứng minh trước đây và tôi đã đưa ra một tài liệu tham khảo trong câu trả lời của mình (nơi bạn cũng có thể tìm thấy tất cả các tài liệu tham khảo có liên quan khác).

— Dana Moshkovitz

Rất tiếc - tuyệt vời. Tôi bằng cách nào đó đã không nhận thấy câu trả lời của bạn!

— Lev Reyzin

3

Một tài liệu tham khảo khác có thể là Bổ đề 1.19 trong B. Doerr, Phân tích các phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên: Các công cụ từ lý thuyết xác suất, Lý thuyết về phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên (A. Auger và B. Doerr, eds.), Nhà xuất bản Khoa học Thế giới, 2011, Trang 1- 20.

$X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$ , tương ứng. Bằng chứng là cơ bản và kết quả là tự nhiên, vì vậy tôi đoán không ai cảm thấy cần phải viết nó lên.

— Benjamin Doerr
nguồn