Độ nhạy của thuộc tính đồ thị

Trong [1], Turan cho thấy độ nhạy (được gọi là "độ phức tạp tới hạn" trong bài viết) của thuộc tính đồ thị lớn hơn trong đó là số đỉnh trong biểu đồ. Ông tiếp tục phỏng đoán rằng bất kỳ thuộc tính đồ thị không tầm thường nào cũng có độ nhạy . Ông đề cập rằng điều này đã được xác minh cho . Có bất kỳ tiến bộ đã được thực hiện trên phỏng đoán này?m≥m-1m≤$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

Lý lịch

Đặt là một chuỗi nhị phân trong . Xác định cho là chuỗi thu được từ bằng cách lật bit . Đối với hàm boolean \ to , hãy xác định độ nhạy của tại là. Cuối cùng, xác định độ nhạy của là .{ 0 , 1 } n x i 1 ≤ i ≤ n x i t h f : { 0 , 1 } n { 0 , 1 } f x s ( f ; x ) : = | { i : f ( x ) ≠ f ( x i ) } $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$s ( f ) : = tối đa$f$$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Một tài sản graph là một bộ sưu tập đồ thị ví dụ rằng nếu và là đẳng cấu với thì . Chúng ta có thể nghĩ về một thuộc tính đồ thị là sự kết hợp của các thuộc tính trong đó là tập con của bao gồm các đồ thị có đỉnh. Hơn nữa, chúng ta có thể hình dung một thuộc tính đồ thị dưới dạng hàm boolean trên trong đó . Chúng ta có thể mã hóa một đồ thị trên các đỉnh m trong một vectơ nhị phân có độ dài$\mathcal P$$G \in \mathcal P$$G'$$G$$G' \in \mathcal P$$\mathcal P$$\mathcal P_m$$\mathcal P_m$$\mathcal P$$m$$\mathcal P_m$$\{0,1\}^n$$n = {m \choose 2}$$m$$n$ ; mỗi mục trong vectơ tương ứng với một cặp đỉnh và mục nhập là nếu cạnh đó có trong biểu đồ. Do đó, độ nhạy của thuộc tính đồ thị là độ nhạy của nó qua hàm boolean.$1$

1. Turan, G., Độ phức tạp quan trọng của các thuộc tính đồ thị, Thư xử lý thông tin 18 (1984), 151-153.

Cuộc khảo sát mà Suresh đã chỉ ra để đưa ra một bài báo của Wegener [1] xác nhận một phần phỏng đoán. Nó giữ cho tất cả các thuộc tính đồ thị đơn điệu và bất đẳng thức là chặt chẽ (xem xét thuộc tính "Không có đỉnh cô lập"). Bất kỳ kết quả gần đây sẽ được đánh giá cao là tốt.

1. Wegener, L. Độ phức tạp tới hạn của tất cả các hàm Boolean (đơn điệu) và các thuộc tính đồ thị đơn điệu. Thông tin và kiểm soát , 67: 212-222, 1985.