Mặc dù L.Berman đã chứng minh rằng vấn đề xác minh hoặc làm sai lệch bất kỳ tuyên bố bậc nhất nào về các số thực sử dụng phép cộng và so sánh nhưng không nhân lên là trong EXPSPACE. Nó đã được chỉ ra bao nhiêu thời gian hoặc không gian bạn sẽ cần để xác minh hoặc làm sai lệch bất kỳ tuyên bố thứ tự đầu tiên nào về các số thực sử dụng phép so sánh cộng và nhân?
Câu trả lời:
Lý thuyết về các trường đóng thực (RCF) đã hoàn thành cho lý thuyết thứ tự đầu tiên về các số thực trong ngôn ngữ bạn mô tả. Do đó, nó tương đương với việc kiểm tra nếu RCF chứng minh công thức.
Bằng cách loại bỏ định lượng của Tarski cho RCF, điều này có thể được tính toán. Độ phức tạp thuật toán của Tarski là không cơ bản và có vấn đề thấp hơn theo cấp số nhân cho vấn đề.
Một thuật toán hiệu quả hơn thuật toán của Tarski được đưa ra bởi Saugata Basu " Thuật toán cải tiến để loại bỏ lượng tử hóa trên các trường đóng thực ", FOCS 1997 (dường như gần như tối ưu, xem Định lý 1) (bản thảo của bài báo có sẵn ở đây ).
Đồng thời kiểm tra Saugata Basu, " Kết quả mới về loại bỏ định lượng đối với các trường và ứng dụng đóng thực sự đối với cơ sở dữ liệu hạn chế ", Tạp chí ACM, 1999.