Làm thế nào khó để đếm số lượng các yếu tố của một số nguyên?

Cho một số nguyên $N$ có độ dài bit, việc tạo ra số lượng các thừa số nguyên tố (hoặc số yếu tố thay thế) của nào? $n$ $N$

Nếu chúng ta biết hệ số nguyên tố của , thì điều này sẽ dễ dàng. Tuy nhiên, nếu chúng ta biết số lượng các yếu tố nguyên tố hoặc số lượng các yếu tố chung, thì không rõ chúng ta sẽ tìm thấy yếu tố nguyên tố thực tế như thế nào. $N$

Là vấn đề này được nghiên cứu? Có các thuật toán được biết để giải quyết câu hỏi này mà không tìm thấy yếu tố chính?

Câu hỏi này được thúc đẩy bởi sự tò mò và một phần bởi một câu hỏi toán học .

— Artem Kaznatcheev
nguồn

Nếu số lượng các thừa số nguyên tố lớn, điều đó có nghĩa là N có một yếu tố nhỏ có thể dễ dàng tìm thấy. Mặt khác, nếu số lượng các thừa số nguyên tố của N nhỏ, giả sử là 2, thì nó cũng tương tự như vấn đề bao thanh toán một sản phẩm của hai số nguyên tố và biết rằng số lượng các yếu tố là 2 dường như không có ích. Xem câu hỏi này của Omid về độ cứng trung bình của chúng.

— Kaveh

Một điều nữa, vì phép chia nằm trong đồng phục

, nên vấn đề đếm tất cả các yếu tố (không chỉ các yếu tố chính) nằm ở

và do đó cũng nằm trong

(và có lẽ cũng hoàn thành cho

theo

Giảm

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

P

$\mathsf{P}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Kaveh, nếu bạn có thể mở rộng nhận xét trên của mình thành một câu trả lời, điều đó sẽ rất tuyệt. Tôi không thấy chính xác cách phân chia trong

giúp bạn tính các yếu tố trong

mà không ngụ ý rằng bao thanh toán nằm trong

. Sự hiểu lầm này có thể là do thất bại của riêng tôi nhưng một câu trả lời chi tiết hơn sẽ giúp ích.

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

# {TC}^{0}

$\#\text{TC}^0$

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

— Derrick Stolee

AFAIK được biết đến! và điều này là quá dễ dàng. Nhưng tôi không thấy nơi tranh luận bị phá vỡ. ps: Tôi đoán tôi biết, định nghĩa của tôi về

là không tốt (nó giống như

) và đó là vấn đề.

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$

— Kaveh

@Artem,

được định nghĩa là số lượng chấp nhận con đường của một

máy, và một

máy có thể sử dụng chỉ logarit (trong

) khoảng không gian cho đoán

. Chúng tôi đoán quá nhiều bit nếu chúng tôi sử dụng định nghĩa tôi đã viết, một phép tính

với nhiều phép đoán sẽ bắt được

, tương tự đếm số

có kích thước đa thức mà máy

chấp nhận trên chúng sẽ cho

# L

$\mathsf{\#L}$

N L

$\mathsf{NL}$

N L

$\mathsf{NL}$

| y |

$|y|$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

N P

$\mathsf{NP}$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$ (đoán tính toán cũng và xác minh rằng đó thực sự là một tính toán chấp nhận).

— Kaveh

Câu trả lời:

Đây không phải là câu trả lời của tôi, nhưng Terrence Tao đã đưa ra một câu trả lời hay cho câu hỏi này trên MathOverflow.

Dưới đây là một vài dòng đầu tiên của câu trả lời của mình. Để đọc câu trả lời đầy đủ, hãy theo liên kết.

Có một quan sát dân gian cho rằng nếu người ta có thể nhanh chóng đếm số lượng các thừa số nguyên tố của một số nguyên n, thì người ta có thể sẽ có thể nhanh chóng hoàn thành yếu tố n. Vì vậy, vấn đề đếm các yếu tố chính được cho là có độ khó tương đương với bao thanh toán.

. cho tôi danh tiếng.)

— Robin Kothari
nguồn

In my opinion, a pointer to an answer like this deserves reputation points (so it should not be community wiki), but I understand that different people have different views.

— Tsuyoshi Ito

But this is not a formal reduction....

— arnab

@arnab: No, it is not. That is why he wrote “then one would likely be able to quickly factor n completely.”

— Tsuyoshi Ito

As others have stated, counting the factors would most likely require factoring n. However, trial division can bound the number of factors. You know, for instance, that $N$ has at most $n$ factors, since no factor can be less than 2. By testing if $N$ is divisible by 2, you also know that $N$ has at most $\log_3(N)$ factors, etc. The downside is that each reduction in size is progressively harder - you have to test up to $N^{1/p}$ to rule out $N$ containing more than $p$ factors.

— Foo Barrigno
nguồn