Độ phức tạp của xếp hạng tenor trên một trường vô hạn

Một tenxơ là sự khái quát hóa các vectơ và ma trận lên các chiều cao hơn và thứ hạng của một tenxơ cũng khái quát hóa thứ hạng của một ma trận. Cụ thể, thứ hạng của một tensor là số lượng tối thiểu của bậc một tensors rằng tổng để . Một vectơ và ma trận lần lượt là các bậc 1 và 2. $T$ $T$

Các phần tử trong đến từ một trường . Nếu là hữu hạn, sau đó Håstad chứng minh rằng quyết định nếu thứ hạng của một tensor độ 3 là tại hầu hết là NP-đầy đủ, nhưng khi là một lĩnh vực vô hạn như rationals , ông đưa ra (hoặc trích dẫn) không có giới hạn trên. $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

Câu hỏi: Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất về độ phức tạp của việc quyết định xem thứ hạng của một độ căng 3 độ so với nhiều nhất là ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— Tyson Williams
nguồn

Là thứ hạng của một tenor độ ba trên giống như thứ hạng của cùng một tenor hơn ℝ? Nếu vậy, vấn đề có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của Lý thuyết Hiện sinh về Thực tế và do đó nằm trong PSPACE.

— Tsuyoshi Ito

Ý tưởng trong nhận xét trước đây của tôi sẽ không hoạt động vì thứ hạng của một tenor độ ba trên sometimes đôi khi khác với thứ hạng của cùng một tenor trên. Đặt {x, y} là cơ sở của không gian vectơ hai chiều và xem xét tenxơ 2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x. Không khó để thấy rằng thứ hạng của nó trên ℝ là hai nhưng thứ hạng của nó hơn lớn hơn hai. (Ví dụ này có được bằng cách sửa đổi ví dụ cho thấy thứ hạng trên ℝ có thể khác với thứ hạng trên usk trong Kruskal 1989. )

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito Tôi hoàn toàn đồng ý. Tôi cũng không thể tìm thấy bất kỳ giới hạn trên.

— Tyson Williams

Tôi nghĩ rằng tốt hơn là yêu cầu tính toán trước sự phức tạp.

— Tsuyoshi Ito

Phần trên tầm thường là ce Håstad cũng chứng minh trong cùng một bài báo rằng vấn đề là over . Vấn đề tổng quát hơn sau đây là ce-Complete: được cung cấp một tenxơ được lấp đầy một phần, có hoàn thành nó có thứ hạng không?

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Kaveh

Câu trả lời:

Có một bản in gần đây về điều này: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf . Nó cho thấy rằng hầu hết các vấn đề liên quan đến xếp hạng với các tenxơ là NP khó hơn và . (Nó cũng đề cập đến việc quyết định thứ hạng trên là NP khó.) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— Bart
nguồn

Bart, bản in đó (của Hillar và Lim) thật tuyệt vời ... cảm ơn bạn rất nhiều.

— John Sidles

Tốt đẹp. Tuy nhiên, tôi không hiểu câu này: "Mặc dù kết quả của Håstad áp dụng cho và , những lựa chọn trường này không có ý nghĩa gì đối với tất cả ngoại trừ một trong những vấn đề trên (ngoại lệ là hệ phương trình song tuyến) vì đây là những bài toán phân tích chỉ được xác định rõ trên một trường hoàn chỉnh của đặc tính 0 với giá trị tuyệt đối. Trong số các trường như vậy, và là phổ biến nhất trong các ứng dụng và vì vậy chúng tôi sẽ hạn chế các cuộc thảo luận của chúng tôi trong các lĩnh vực này. "

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Tyson Williams

Một trong những vấn đề đang được đề cập trong đoạn trích dẫn trên là thứ hạng. Có phải các tác giả này nói rằng thứ hạng của một tenxơ không được xác định rõ hơn ?

Q

$\mathbb{Q}$

— Tyson Williams

@Tyson: Tôi nghĩ rằng các tác giả chỉ muốn nói rằng đối với nhiều ứng dụng số (phương trình vi phân từng phần, xử lý tín hiệu), bạn muốn thực hiện tính toán trong hoặc . Là một nhà phân tích số, bản thân tôi không thấy nhiều ứng dụng được định nghĩa trên . Họ không ngụ ý rằng thứ hạng không được xác định rõ trên .

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— Bart

Mặc dù đây thực sự là câu trả lời duy nhất (vì John có nghĩa là nhận xét của anh ấy), tôi vẫn tin rằng câu trả lời này xứng đáng với tiền thưởng vì nó cung cấp một tài liệu tham khảo cho thấy độ cứng đối với các trường vô hạn quan trọng khác (thực tế và phức tạp). Như tiêu đề của câu hỏi của tôi cho thấy, tôi tò mò về các lĩnh vực vô hạn nói chung nhưng quyết định hỏi về các lý do để có một câu hỏi với một câu trả lời cụ thể. Tôi vẫn sẽ chọn một câu hỏi khác là câu trả lời được chấp nhận nếu ai đó có thể cung cấp giới hạn trên (hoặc cho thấy rằng nó không thể tính toán được).

— Tyson Williams

Cuốn sách Những quan điểm về độ phức tạp tính toán: Tập kỷ niệm Somenath Biswas xuất bản vào mùa hè này (tháng 7 năm 2014) phần lớn đồng ý với sự đồng thuận mà chúng tôi đạt được ở đây. Trên trang 199 , nó viết:

Theo hiểu biết tốt nhất của tôi, thậm chí còn không biết liệu [vấn đề tính toán xếp hạng tenor] trên có thể quyết định được hay không. Hơn , tình hình có phần tốt hơn ... Vấn đề là có thể quyết định và ngay cả trong PSPACE, vì nó có thể được giảm xuống theo lý thuyết hiện sinh của thực tế. $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— Tyson Williams
nguồn

Một bản in gần đây cũng xác nhận điều này: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf . (Xem bảng ở trang 3.)

— Huck Bennett

Lưu ý: Văn bản dưới đây được dùng như một nhận xét, nó chắc chắn không phải là một câu trả lời, mà là một quan sát thực tế nảy sinh từ một nguyên tắc cộng hưởng từ của Charlie Slichter trong ngôn ngữ của hình học đối xứng và lý thuyết thông tin lượng tử (kéo lại tự nhiên lên các không gian trạng thái sản phẩm bậc thang đa thức). Hiện tại chúng ta có một sự hiểu biết hình học một phần về các phương pháp bậc thang này, một sự hiểu biết thông tin lượng tử cận biên, về cơ bản không có sự hiểu biết phức tạp về lý thuyết hay tổ hợp, và một sự hiểu biết tính toán (nhưng chủ yếu là theo kinh nghiệm).

Chúng tôi rất quan tâm để mở rộng, đào sâu và thống nhất sự hiểu biết này, và vì vậy chúng tôi hy vọng những người khác sẽ đăng câu trả lời / nhận xét thêm về chủ đề này.

Kinh nghiệm tính toán thực tế của chúng tôi là việc ước tính thứ hạng trên có thể dễ dàng điều chỉnh bằng các phương pháp gốc dốc nhất ... như chúng tôi hiểu, sự mạnh mẽ này phát sinh vì một lý do hình học, cụ thể là định lý độ cong hai chiều của Goldberg và Kobayashi . Đây là một bằng chứng khắt khe, không cần phải nói.

C

$\mathbb{C}$

— John Sidles
nguồn

Định lý này có dễ phát biểu không? Nếu không, bạn có thể cung cấp một liên kết đến một tuyên bố và giải thích tốt?

— Tyson Williams

@Tyson: Tôi nghĩ rằng John đang nói về kinh nghiệm giải quyết các trường hợp của vấn đề chứ không phải về một định lý.

— Joe Fitzsimons

Bạn hỏi anh ta về một định lý, và anh ta dường như không nói về một định lý. Tôi chỉ nghĩ rằng bạn đã hiểu lầm anh ta.

— Joe Fitzsimons

Trên thực tế, tôi nghĩ rằng tôi đã đăng một bình luận và ngạc nhiên khi thấy nó xuất hiện như một câu trả lời. Đừng! Tôi vừa mới chỉnh sửa nó để thêm một tài liệu tham khảo, nhưng nó vẫn còn rất xa với một câu trả lời thỏa đáng. Một câu hỏi hay của Tyson Williams! :)

— John Sidles

@Joe Anh ấy đã đề cập đến định lý độ cong hai chiều của Goldberg và Kobayashi, vì vậy tôi đã hỏi anh ấy về nó. Tôi không chắc điều đó có nghĩa là tôi đã hiểu lầm anh ta hay không.

— Tyson Williams