Định lý tổng quát của Ladner

Định lý của Ladner nói rằng nếu P ≠ NP, thì có một hệ thống phân cấp vô hạn của các lớp phức tạp chứa đúng P và được chứa trong NP. Bằng chứng sử dụng tính đầy đủ của SAT theo NP giảm nhiều. Hệ thống phân cấp chứa các lớp phức tạp được xây dựng bởi một loại đường chéo, mỗi lớp chứa một số ngôn ngữ mà các ngôn ngữ trong các lớp thấp hơn không thể rút gọn được.

Điều này thúc đẩy câu hỏi của tôi:

Đặt C là một lớp phức tạp và để D là một lớp phức tạp chứa C. Nếu D chứa các ngôn ngữ hoàn chỉnh cho một số khái niệm giảm, thì có tồn tại một hệ thống phân cấp vô hạn của các lớp phức tạp giữa C và D, đối với giảm?

Cụ thể hơn, tôi muốn biết nếu có kết quả được biết đến với D = P và C = LOGCFL hoặc C = NC , cho một khái niệm giảm thích hợp.

Bài viết của Ladner đã bao gồm Định lý 7 cho các lớp C giới hạn không gian, như Kaveh đã chỉ ra trong một câu trả lời. Ở dạng mạnh nhất, điều này nói: nếu NL ≠ NP thì có một chuỗi ngôn ngữ vô hạn giữa NL và NP, có độ cứng tăng dần. Đây là một chút tổng quát hơn so với phiên bản thông thường (Định lý 1), có điều kiện trên P NP. Tuy nhiên, bài báo của Ladner chỉ xem xét D = NP.

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn là "có" cho rất nhiều loại và giảm, bao gồm cả giảm bớt logspace và các lớp bạn đã đề cập, như đã được chứng minh trong các bài viết này:

H. Vollmer. Các kỹ thuật ngôn ngữ khoảng cách xem xét lại . Khoa học máy tính Logic, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính Vol. 533, trang 389-399, 1990.

K. Regan và H. Vollmer. Khoảng cách ngôn ngữ và các lớp phức tạp thời gian đăng nhập . Khoa học máy tính lý thuyết, 188 (1-2): 101-116, 1997.

(Bạn có thể tải xuống các tệp tin mô tả được nén của các giấy tờ này tại đây .)

Các bằng chứng tuân theo nguyên tắc cơ bản của việc mở rộng định lý Ladner của Uwe Schöning:

Uwe Schöning. Một cách tiếp cận thống nhất để có được các bộ đường chéo trong các lớp phức tạp . Khoa học máy tính lý thuyết 18 (1): 95-103, 1982.

Bằng chứng của Schöning luôn là bằng chứng yêu thích của tôi về định lý Ladner - nó vừa đơn giản vừa chung chung.

Rất có khả năng bạn có thể thực hiện điều này trong một thiết lập chung. Hầu như chắc chắn một kết quả như vậy đã được chứng minh trong một thiết lập chung, nhưng các tài liệu tham khảo thoát khỏi tôi vào lúc này. Vì vậy, đây là một đối số từ đầu.

Bài viết tại http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf có hai bằng chứng về định lý của Ladner. Bằng chứng thứ hai, bởi Russell Impagliazzo, tạo ra một ngôn ngữ có dạng { x 01 f ( | x | ) } trong đó x mã hóa một công thức thỏa đáng và f là một hàm tính toán thời gian đa thức cụ thể. Đó là, chỉ bằng cách đệm SAT với số lượng thích hợp là 1 , bạn có thể nhận được các bộ "NP-trung gian". Phần đệm được thực hiện để "chéo hóa" trên tất cả các giảm thời gian đa thức có thể, do đó không giảm thời gian đa thức từ SAT xuống L $L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$sẽ làm việc (giả sử ). Để chứng minh rằng có vô số độ cứng, người ta có thể thay thế L 1 thay cho SAT trong đối số trên và lặp lại đối số cho L 2 = { x 0 1 f ( | x | ) | x ∈ L 1 }. Lặp lại với L i = { x 0 1 f ( | x | ) | x ∈ L i $P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$ }.$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

Dường như rõ ràng rằng một bằng chứng như vậy có thể được khái quát cho các lớp và D , trong đó (1) C được chứa đúng trong D , (2) D có một ngôn ngữ hoàn chỉnh theo C -reductions, (3) danh sách tất cả các C -reductions có thể liệt kê một cách đệ quy, và (4) các chức năng f là tính toán trong C . Có lẽ yêu cầu đáng lo ngại duy nhất là yêu cầu cuối cùng, nhưng nếu bạn nhìn vào định nghĩa của f trong liên kết, nó có vẻ rất dễ tính toán, đối với hầu hết các lớp C hợp lý mà tôi có thể nghĩ ra.$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

Tôi nghĩ rằng câu trả lời là dương tính với và phiên bản thống nhất của N C . Bằng chứng của Ladner không sử dụng nhiều ngoài những gì bạn đã nêu và thực tế là lớp nhỏ hơn được trình bày đệ quy và nên hoạt động với các sửa đổi nhỏ nhưng tôi chưa kiểm tra chi tiết, hãy xem bài viết của Lance tại đây .$C=L$$NC$

Cập nhật

Kiểm tra bài viết của Ladner về cấu trúc của thời gian đa thức

Đây là tóm tắt: Hai khái niệm về khả năng giảm thời gian đa thức, được ký hiệu ở đây là và ≤ P m , được định nghĩa bởi Cook và Karp, tương ứng. Các thuộc tính trừu tượng của hai quan hệ này trên miền của các bộ tính toán được điều tra. Cả hai mối quan hệ được chứng minh là dày đặc và có cặp tối thiểu. Hơn nữa, có một chuỗi tăng dần nghiêm ngặt với một cặp giới hạn tối thiểu trên chuỗi. Phương pháp của chúng tôi cho thấy mật độ mang lại kết quả rằng nếu P ≠ N P sau đó có các thành viên của N P - P mà không phải là đa thức hoàn tất.$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

Định lý 1. Nếu B là tính toán và không có trong thì tồn tại một tính toán Một ví dụ mà Một ∉ P , A ≤ P m B , và B ≰ P T Một .$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

Cũng xem phần 6 thảo luận về khái quát hóa:

Định lý 5. Nếu là một lớp thời gian sau đó ≤ C m và ≤ C T là quan hệ phản thân và bắc cầu và Theorems 1-4 giữ với P thay bằng C .$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

Các thuật ngữ lớp thời gian và lớp không gian được xác định trong bài báo.

Tôi đã hỏi một câu hỏi tương tự với Peter Shor tại Mathoverflow ở đây . Theo anh, anh không nhận thức được kết quả như vậy.

$NP\neq P$

$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

Một vấn đề thú vị khác là xem xét việc khái quát hóa Ladner cho các phiên bản hứa của các lớp ngữ nghĩa, như PromBPP, Promem, v.v.