Giá trị dự kiến của độ phức tạp Kolmogorov trong một mẫu ngẫu nhiên

Độ phức tạp Kolmogorov của một chuỗi là không thể tính toán được. Tuy nhiên, trong một tập hợp con ngẫu nhiên có kích thước của các chuỗi nhị phân có độ dài , có bao nhiêu dự kiến có độ phức tạp nhỏ hơn một số nguyên nhỏ hơn (như một hàm của , và )? $M$ $n$ $n_{0}$ $n$ $M$ $n$ $n_{0}$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— đấu với
nguồn

Bạn đang sử dụng độ phức tạp Kolmogorov "tiêu chuẩn" ở đây, hay độ phức tạp tiền tố?

— Aubrey da Cunha

Thật ra tôi chỉ nghĩ về sự phức tạp của Kolmogorov. Tôi đã đoán được

ràng buộc mà domotorp đã đề cập khi chúng ta xem xét vũ trụ của tất cả các chuỗi. Tôi không rõ liệu có bất kỳ kết quả 'nhất quán' nào cho một tập hợp con ngẫu nhiên có kích thước

có thể được tạo ra hay không. Tuy nhiên, sự phức tạp của tiền tố sẽ đưa chúng ta đến một quan điểm khác?

2^{n_{o}}

$2^{n_{o}}$

M

$M$

— so với

Nó chắc chắn sẽ không thay đổi thứ tự cường độ, thực tế tôi nghĩ bây giờ câu trả lời của tôi là ràng buộc cho cả hai phiên bản.

— domotorp

Đối với mỗi

và mỗi

, xác suất mà một ngẫu nhiên

chuỗi bit

có Kolmogorov phức tạp

lớn hơn

n

$n$

c

$c$

n

$n$

x

$x$

K (x) \geq n - c

$K(x) \geq n-c$

(với

). Vì vậy, trong một phân phối ngẫu nhiên củachuỗi

, bạn nên mong đợi

1 - \frac{1}{2^{c}}

$1 - \frac{1}{2^c}$

c = n - n_{0}

$c = n-n_0$

M

$M$

chuỗi có

... theo trực giác, có xác suất rất cao để chọn một chuỗi có độ phức tạp Kolmogorov cao.

\frac{M}{2^{(} n - n_{0})}

$\frac{M}{2^(n-n_0)}$

K (x) < n_{0}

$K(x) \lt n_0$

— Marzio De Biasi

Câu trả lời:

Độ phức tạp Kolmogorov chỉ được xác định cho đến một số hằng số phụ gia, do đó không thể đưa ra câu trả lời chính xác. Các ràng buộc mà tôi mô tả ở đây thậm chí còn yếu hơn.

Tất nhiên, số lượng dự kiến có thể được tính toán dễ dàng khi chúng ta biết có bao nhiêu chuỗi có độ phức tạp nhỏ hơn , vì vậy hãy để tôi trả lời điều này. Nó thường là tuyên bố đầu tiên về độ phức tạp Kolmogorov rằng con số này nhiều nhất là - vì chỉ có nhiều chuỗi có độ dài nhỏ hơn. Mặt khác, nếu chương trình của bạn nói "có độ dài , hãy lấy số thứ ", thì bạn nhận được chuỗi có độ phức tạp nhỏ hơn , trong đó $2^n$ $n_0$ $2^{n_0}-1$ $n$ $x$ $2^{n_0-K(n)-C}$ $n_0$ là phiên bản tiền tố miễn Kolmogorov phức tạp của (vì vậy ở hầu hết các ). Chi tiết hơn, trước tiên, chuỗi chứa mô tả của máy Turing đã nhập , trong đó p là mô tả của chương trình không có tiền tố xuất ra , xuất rasố thứ có độ dài , là bit, và sau đó điều này được theo sau bởi . $K(n)$ $n$ $\log n+\log^* n + O(1)$ $px$ $n$ $x$ $n$ $O(1)$ $px$

Có lẽ có thể cải thiện các giới hạn này, nhưng tôi nghi ngờ rằng bạn có thể nhận được một câu trả lời chính xác.

— động vật
nguồn

Bạn có thể giải thích một chút về cụm từ 'nếu chương trình của bạn nói "có độ dài n, hãy lấy số thứ x"'?

— so với

Bạn nói đúng, nó không có tiền tố ở đó, tôi đã sửa nó.

— domotorp

$n$ $n_0$ $2^{n_0 - K(n_0|n)}$ $2^{-K(n_0|n) + O(1)}$ $n_0$ $k$ $2^{k - K(k|n)}$ $k$ $n_0$

C (a, b) = K (a | C (a, b)) + C (b | a, C (a, b)) + O (1) .

$C(a,b) = K(a|C(a,b)) + C(b|a,C(a,b)) + O(1).$

K (\cdot)

$K(\cdot)$

a = n

$a = n$

n

$n$

b

$b$

k

$k$

k = C (b) = C (n, b) + O (1) = K (n | k) + C (b | n, k) + O (1) .

$k = C(b) = C(n,b) + O(1) = K(n|k) + C(b|n,k) + O(1).$

b

$b$

C (b | n, k) = k - K (n | k) + O (1)

$C(b|n,k) = k - K(n|k)+O(1)$

k^{'} = k - K (n | k)

$k' = k - K(n|k)$

O (2^{k^{'}})

$O(2^{k'})$

b

$b$

2^{k^{'}}

$2^{k'}$

n

$n$

C (b | n, k) \leq k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) \le k' + O(1)$

Ω (2^{k^{'}})

$\Omega(2^{k'})$

C (b | n, k) = k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) = k' + O(1)$

— Bruno Bauwens
nguồn

Giá trị dự kiến ​​của độ phức tạp Kolmogorov trong một mẫu ngẫu nhiên

Giá trị dự kiến của độ phức tạp Kolmogorov trong một mẫu ngẫu nhiên