Là các vấn đề PRIMES, FACTORING được biết đến là P-hard?

Đặt PRIMES (còn gọi là kiểm tra tính nguyên thủy ) là vấn đề:

Cho số tự nhiên , là số nguyên tố không? $n$ $n$

Đặt FACTORING là vấn đề:

Cho các số tự nhiên , với , có hệ số với không? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

Được biết liệu PRIMES là P-hard? Làm thế nào về YẾU TỐ? Các giới hạn được biết đến tốt nhất cho những vấn đề này là gì?

— km
nguồn

Không, IIRC nó mở nếu Primes là P-hard. Tôi nghĩ điều tương tự cũng đúng về SỰ THẬT.

— Kaveh

Tôi đoán một câu hỏi thay thế có thể là: có bất kỳ hậu quả nào đối với PRIMES hoặc FACTORING là P-hard không?

— Suresh Venkat

@Suresh: đó là một câu hỏi hay. Bạn có thể gửi nó một cách riêng biệt?

— András Salamon

Trên thực tế, nó đã được yêu cầu bao thanh toán: cstheory.stackexchange.com/questions/5096/ mẹo

— Suresh Venkat

@Artem, tôi đồng ý với András, một câu hỏi về hậu quả của độ cứng P của Primes sẽ rất thú vị. Tôi cũng chỉnh sửa câu hỏi bằng cách thêm một câu hỏi về các mức thấp nhất được biết đến.

— Kaveh

Câu trả lời:

PRIMES được biết là khó cho . Xem bài viết của tôi với Saks và Shparlinski, " Giới hạn thấp hơn cho tính nguyên thủy " trong JCSS 62 (2001). Không có cải thiện trên mặt trận đó kể từ đó. $\mathsf{TC^0}$

— Eric Allender
nguồn

Bạn có biết nếu kết quả độ cứng này cũng giữ nếu chúng ta chỉ muốn một số ngẫu nhiên

của tất cả cácsố nguyên

-bit được bao thanh toán? Sau tất cả những điều này vẫn có thể ở

phải không?

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$

— T ....

Bao thanh toán có thể đạt được bằng cách sử dụng mạch lượng tử độ sâu polylog và xử lý trước và sau ZPP; thấy giấy này . Nếu là P-hard, mọi thuật toán trong P có thể được thực hiện với mạch lượng tử độ sâu polylog và các bước xử lý trước và sau xử lý tương tự. Tôi tin rằng các bước này là lũy thừa mô-đun và phân số tiếp tục, mà theo tôi dường như không đủ mạnh để giải quyết các vấn đề hoàn chỉnh P, ngay cả khi có thêm mạch lượng tử độ sâu polylog . $n$ $n$ $n$

— Peter Shor
nguồn