Các vấn đề bên ngoài P không phải là P-hard

Trong khi đọc câu trả lời của Peter Shor và một câu hỏi trước đó của Adam Crume, tôi nhận ra rằng tôi có một số hiểu lầm về ý nghĩa của nó là -hard.$\mathsf{P}$

Một vấn đề là -hard nếu có bất kỳ vấn đề nào trong có thể giảm được với (hoặc nếu bạn thích giảm ). Một vấn đề nằm ngoài nếu không tồn tại thuật toán thời gian đa thức để giải quyết nó. Điều này có nghĩa là sẽ có vấn đề nằm ngoài nhưng không phải là -hard. Nếu chúng ta cho rằng nằm ngoài , thì câu trả lời của Peter Shor cho thấy FACTORING có thể là một vấn đề như vậy.$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Có bất kỳ vấn đề nào được biết đến (tự nhiên hoặc nhân tạo) được biết là nằm ngoài nhưng không phải là -hard? Điều gì về các giả định yếu hơn so với giả định bao thanh toán? Có một tên cho lớp phức tạp này?$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Nếu $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ thì không có tập nào thưa thớt (thậm chí là tập không tính toán được) có thể là $\mathsf{P\text{-}hard}$ .

Quan niệm sai lầm xuất phát từ suy nghĩ về các lớp phức tạp (và các vấn đề tính toán) là tạo ra một trật tự tuyến tính không đúng. Sử dụng từ "độ cứng" cho một vấn đề có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác trong lớp cũng góp phần vào quan niệm sai lầm. Một vấn đề thấp hơn cho một vấn đề (tức là không thuộc lớp phức tạp) không có nghĩa là vấn đề đó khó đối với lớp (tức là có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác trong lớp). Tôi không biết có thuật ngữ thay thế nào tốt hơn cho "độ cứng" hiện đang được sử dụng hay không, một thuật ngữ đã được sử dụng trong các thập kỷ trước là "tính phổ quát" (IMHO, thể hiện khái niệm này một cách trung thực hơn, và sau đó chúng ta có thể sử dụng "độ cứng" vì không ở trong lớp, nhưng thay đổi thuật ngữ đã được thiết lập là rất khó).

Tôi nghĩ rằng bạn có thể xây dựng một tập hợp không nằm trong mà không phải là P -hard theo đối số kiểu Ladner. Đây là một ví dụ cụ thể.$P$$P$

Trong bài viết "Cách tiếp cận thống nhất để có được các bộ đường chéo trong các lớp phức tạp" (Theor. Comp. Sci. 18, 1982), Schöning chứng minh những điều sau:

Định lý Giả sử , Một 2 ∉ C 2 , C 1 và C 2 là đệ quy các lớp phức tạp đoan và được đóng theo biến thể hữu hạn. Sau đó có một bộ Một ví dụ mà Một ∉ C 1 , Một ∉ C 2 , và nếu A 1 ∈ P và A 2 là không nhỏ (tập rỗng hoặc tất cả các chuỗi) sau đó A là polytime nhiều mốt rút gọn về Một 2 .$A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$$A \notin C_2$$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

Để áp dụng điều này, hãy đặt thành tập hợp trống và A 2 là E X P -complete theo mức giảm đa thời gian, tập C 1 là tập hợp các tập hợp P có trong E X P , đặt C 2 = P . Tập hợp trống không thể là P -hard (định nghĩa về P -hardness cho một ngôn ngữ yêu cầu có ít nhất một thể hiện trong ngôn ngữ và một thể hiện không có trong ngôn ngữ). A 2 chắc chắn không có trong C 2 . Các C 1 và$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$ có thể được xác minh để đáp ứng các điều kiện trên (tương tự như cách Schoening thực hiện đối với các bộ N P -complete; xem thêmcâu hỏi liên quan này). Vì vậy, chúng tôi nhận được một Alà không tầm thường, Một là nhiều-một rút gọn về một E X P bộ -complete, vì vậy nó là trong E X P . Do đó, đặc biệt,$C_2$$NP$$A$đó không phải là một vấn đề -Hard trong E X P , và đó là một không có trong P . Nhưng vì A 1 ∈ P và A $P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$cũng không thể là -hard.$P$

Trong lập luận trên, việc hạn chế các vấn đề -hard trong E X P là cần thiết để đảm bảo khả năng trình bày đệ quy, vì các vấn đề P-hard nói chung không thể trình bày đệ quy và thậm chí không thể đếm được . Bây giờ, các ví dụ "tự nhiên" về điều này là một câu chuyện khác ...$P$$EXP$

Một cách khác để tạo ra các vấn đề nằm ngoài P nhưng không phải là P-hard là xử lý các vấn đề hoàn chỉnh cho các lớp không thể so sánh được với P. Nói một lớp X không thể so sánh được với P, theo nghĩa là không phải là tập con của lớp kia. Sau đó, một vấn đề hoàn thành X nhất thiết phải nằm ngoài P (nếu không thì P sẽ bao gồm X) và không phải là P-hard (nếu không thì X sẽ bao gồm P).

Tôi đã cố gắng nghĩ về một số lớp không thể so sánh được với P, nhưng P là một lớp khá mạnh mẽ, vì vậy không có quá nhiều lớp như vậy. Ví dụ: RNC và QNC có thể không thể so sánh được với P. DSPACE ( $\log^2$ ) cũng có thể không thể so sánh được với P. PolyL không thể so sánh được với P, nhưng không có vấn đề hoàn toàn trong việc giảm logspace.