Chim say và kiến ​​say: đi bộ ngẫu nhiên giữa hai và ba chiều

Người ta biết rằng một bước đi ngẫu nhiên trong lưới hai chiều sẽ trở về điểm gốc với xác suất 1. Người ta cũng biết rằng bước đi ngẫu nhiên tương tự trong BA chiều có xác suất nhỏ hơn 1 lần trở về điểm gốc .

Câu hỏi của tôi là:

Có một cái gì đó ở giữa? Ví dụ, giả sử không gian của tôi thực sự là một vùng giới hạn của mặt phẳng được đưa ra vô cực theo hướng z. (những gì thường được gọi là 2,5 chiều). Các kết quả hai chiều được áp dụng, hoặc ba chiều?

Điều này đã xuất hiện trong các cuộc thảo luận, và một lập luận heuristic nói rằng nó hành xử theo hai chiều là vì vùng hữu hạn của mặt phẳng cuối cùng sẽ được che phủ, phần không duy nhất của bước đi là tia 1 chiều dọc theo hướng z, và do đó quay trở lại nguồn gốc sẽ xảy ra.

Có hình dạng nào khác nội suy giữa trường hợp hai D và ba-D không?

Cập nhật (lấy từ các bình luận): một câu hỏi liên quan đã được hỏi trên MO - một tóm tắt ngắn gọn là nếu bước đi là chẵn (2 +), thì sự trở lại không chắc chắn sẽ diễn ra một cách lỏng lẻo từ một chuỗi chuyển hướng. Tuy nhiên, câu hỏi trên hơi khác IMO vì tôi đang hỏi về các loại hình dạng khác có thể thừa nhận lợi nhuận nhất định.

Xác suất trên Cây và Mạng của Peres và Lyons đề cập đến điều này trong Chương 2 (trang 50):

Một cách để hiểu điều này là hỏi về loại không gian trung gian giữa và Z 3 . Ví dụ, hãy xem xét cái nêm$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

trong đó là một hàm tăng. Số cạnh để lại là thứ tự , do đó, theo Tiêu chí Nash-Williams,W f ∩ { ( x , y , z ) : | x |  hoặc  | y | ≤ n } n ( f ( n ) + 1 $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

là đủ cho tái phát.

Bước đi ngẫu nhiên 3 chiều trong không gian 3x3x3 (như khối rubik) có xác suất ít hơn một lần quay trở lại điểm gốc, nếu bước đi bắt đầu ở bên ngoài; nhưng không gian 2x2x2 là một, cũng như không gian 3x3x3 với gốc tọa độ ở giữa. Vì vậy, có vẻ như có một số hình dạng trung gian, nhưng có thể không nhiều.