Hậu quả của việc

Chúng ta biết rằng nếu thì toàn bộ PH sụp đổ. Điều gì xảy ra nếu hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ một phần? (Hoặc làm thế nào để hiểu rằng PH có thể sụp đổ trên một điểm nhất định chứ không phải bên dưới?)$P=NP$

Nói cách ngắn gọn, hậu quả của và P ≠ N P sẽ là gì?$NP=coNP$$P\ne NP$

Đối với tôi, một trong những hậu quả cơ bản và đáng ngạc nhiên nhất của là sự tồn tại của các bằng chứng ngắn cho một loạt các vấn đề trong đó rất khó để thấy tại sao chúng nên có bằng chứng ngắn. (Đây là một bước lùi từ "Sự sụp đổ này có ý nghĩa phức tạp nào khác?" Thành "Những lý do rất cơ bản, thực tế nào cho sự sụp đổ này sẽ gây ngạc nhiên?")$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Ví dụ: nếu , thì với mọi đồ thị không phải là Hamilton, có một bằng chứng ngắn về thực tế đó. Tương tự cho các đồ thị không có 3 màu. Tương tự cho các cặp đồ thị không đẳng hình. Tương tự cho bất kỳ tautology đề xuất .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Trong một thế giới nơi , khó khăn trong việc chứng minh các tautology mệnh đề không phải là một số tautology ngắn có bằng chứng dài - bởi vì trong một thế giới như vậy, mọi tautology đều có một bằng chứng ngắn đa thức - nhưng đúng hơn là có một số lý do khác mà chúng tôi không thể tìm thấy những bằng chứng đó một cách hiệu quả.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Nếu chúng ta cũng giả sử , thì giả thuyết cũng sẽ gây ra sự sụp đổ của các lớp ngẫu nhiên:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Mặc dù tất cả những điều này được phỏng đoán là sụp đổ vô điều kiện vào P , dù sao đi nữa, nó vẫn mở cho dù điều đó thực sự xảy ra. Trong mọi trường hợp, N P = c o N P dường như không ngụ ý rằng các lớp ngẫu nhiên này sụp đổ.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

Nếu họ không, có nghĩa là, chúng ta ít nhất có , sau đó, cùng chỉ với N P = c o N P giả thuyết, điều này sẽ có một kết quả quan trọng:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Này xuất phát từ kết quả của Babai, Fortnow, Nisan và Wigderson, mà nói rằng nếu tất cả unary (tally) ngôn ngữ trong P H rơi vào P , sau đó B P P = P . Vì vậy, nếu B P P ≠ P , sau đó họ có thể không phải tất cả sụp đổ trong P , như N P = c o N P giả định nghĩa P H = N P . Do đó, phải có một ngôn ngữ kiểm đếm trong N P - $\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$. Cuối cùng, sự hiện diện của một ngôn ngữ kiểm đếm trong nổi tiếng để ngụ ý E ≠ N E .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

Lý do chương trình trên hiệu ứng thú vị là giả thuyết, mặc dù là một sự sụp đổ, thực sự khuếch đại tách sức mạnh của B P P ≠ P , như một mình sau này không biết đến bao hàm E ≠ N E . Này "bất thường" dường như ủng hộ giả thuyết B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko Cho thấy rằng có một nhà tiên tri làm cho PH sụp đổ ở cấp độ thứ k. Xem "Ker-I Ko: Phân cấp thời gian đa thức tương đối có cấp độ chính xác K. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".