Đưa ra một biểu đồ, quyết định xem kết nối cạnh của nó có ít nhất là n / 2 hay không

Chương 1 của cuốn sách Phương pháp xác suất, của Alon và Spencer đề cập đến vấn đề sau:

Đưa ra biểu đồ , quyết định xem kết nối cạnh của nó có ít nhất là hay không. $G$ $n/2$

Tác giả đã đề cập đến sự tồn tại của thuật toán bởi Matula và cải thiện nó thành . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Câu hỏi của tôi là, thời gian chạy nổi tiếng nhất cho vấn đề này là gì?

Hãy để tôi mô tả các thuật toán cải tiến.

Đầu tiên, quyết định xem có mức độ tối thiểu ít nhất là hay không. Nếu không, thì kết nối cạnh rõ ràng nhỏ hơn . $G$ $n/2$ $n/2$

Tiếp theo, nếu đó không phải là trường hợp, thì hãy tính tập hợp thống trị có có kích thước . Điều này có thể được thực hiện trong thời gian , bằng một thuật toán được mô tả trong phần trước của cuốn sách. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Tiếp theo, nó sử dụng những điều sau đây không khó để chứng minh sự thật:

Nếu mức độ tối thiểu là , thì đối với bất kỳ cạnh cắt kích thước nào nhiều nhất là chia thành và , bất kỳ tập hợp thống trị nào của phải có các đỉnh của nó trong cả và . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Bây giờ hãy xem xét tập hợp thống trị . Kể từ khi có độ tối thiểu , bất kỳ cắt cạnh của kích thước nhỏ hơn cũng phải tách . Do đó, với mỗi , chúng tôi tìm thấy kích thước của đường cắt cạnh nhỏ nhất ngăn cách và . Mỗi điều này có thể được thực hiện trong thời gian bằng thuật toán dòng chảy tối đa. Do đó, tổng thời gian thực hiện là . $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
nguồn

Btw, tất nhiên là một sự cải tiến trong thuật toán dòng chảy tối đa cũng sẽ dẫn đến một sự cải tiến ở đây. Nhưng tôi đoán

là thuật toán max-flow tốt nhất hiện nay được biết đến?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Có thể tôi đang hiểu nhầm điều gì đó, nhưng không phải thuật toán cắt ngẫu nhiên Karger-Stein có thời gian chạy

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Là

thời gian chạy dự kiến? Thuật toán tôi đã mô tả là hoàn toàn xác định.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

Thuật toán là Monte Carlo: nó luôn hoàn thành trong thời gian

và đưa ra mức cắt tối thiểu với xác suất cao. Tất nhiên, khả năng thất bại phụ thuộc vào thời gian chạy. Xin lỗi, vì trích dẫn của bạn là Alon-Spencer Tôi chỉ cho rằng thuật toán là ngẫu nhiên :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Nếu bạn đang tìm kiếm một thuật toán xác định tôi nghĩ bạn nên chỉ định điều đó trong câu hỏi. Tôi không biết thuật toán xác định tốt hơn

cho phép cắt tối thiểu (xem Stoer-Wagner để biết thuật toán dễ dàng đạt được thời gian chạy này). Thật thú vị khi chúng ta có thể làm rõ ràng hơn cho vấn đề bạn chỉ định (8/3 theo số mũ có vẻ không tự nhiên đối với một ràng buộc tốt nhất, nhưng ai biết được).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

Bạn có thể dễ dàng kiểm tra điều này trong thời gian tuyến tính, vì một biểu đồ có kết nối cạnh ít nhất là khi và chỉ khi mức độ tối thiểu của nó ít nhất là . Bạn đã tranh luận về những người chỉ có một phần nếu một phần. Bây giờ hãy xem xét một đồ thị trong đó mọi đỉnh có độ ít nhất là và một đường cắt chia đồ thị thành hai đỉnh và với . Một đỉnh trong có thể có tối đa kết nối với các đỉnh khác trong $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ , và do đó phải đóng góp ít nhất cho đường cắt. Do đó, vết cắt phải có kích thước tối thiểu . Nó vẫn còn để chứng minh rằng , đó là sự thật kể từ khi $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Thật kỳ lạ, chỉ tham khảo tôi thấy đến kết quả này là này từ một hội nghị tin sinh học. Tôi thực sự tò mò muốn xem liệu nó đã được chứng minh ở một nơi khác chưa.

Chỉnh sửa: Một tài liệu tham khảo trước đó là: Gary Chartrand: Phương pháp tiếp cận lý thuyết đồ thị cho vấn đề truyền thông , SIAM J. Appl. Môn Toán. 14-4 (1966), trang 778-781.

— Falk Hüffner
nguồn