Một không gian tôpô liên quan đến SAT: nó có nhỏ gọn không?

Tất nhiên, vấn đề thỏa mãn là một vấn đề cơ bản trong lý thuyết CS. Tôi đã chơi với một phiên bản của vấn đề với vô số biến. $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

Thiết lập cơ bản. Đặt là tập hợp các biến không trống và có thể là vô hạn . Một nghĩa đen là một biến hoặc phủ định của nó . Mệnh đề c là một hàm số hữu hạn của chữ . Cuối cùng, chúng tôi định nghĩa một công thức F là một tập hợp các mệnh đề .$X$$x \in X$$\neg x$$c$$F$

Một phép gán của $X$ là một hàm $\sigma : X \to \{0,1\}$ . Tôi sẽ không xác định rõ ràng điều kiện khi một phép gán $\sigma$ thỏa mãn một mệnh đề; nó hơi cồng kềnh, và giống như trong SAT tiêu chuẩn. Cuối cùng, một bài tập thỏa mãn một công thức nếu nó thỏa mãn mọi mệnh đề cấu thành. Đặt $\sat(F)$ là tập hợp các phép gán thỏa mãn cho $F$ và để $\unsat(F)$ là phần bù của $\sat(F)$ .

Một không gian tôpô.

Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp không gian cho tất cả các bài tập của $X$ , gọi đây là $\Sigma$ , với cấu trúc tôpô . Các tập đóng của chúng tôi có dạng $\sat(F)$ trong đó $F$ là công thức. Chúng tôi có thể xác minh rằng đây thực sự là một cấu trúc liên kết:

• Công thức rỗng $\emptyset$ không chứa mệnh đề được thỏa mãn bởi tất cả các bài tập; vì vậy $\Sigma$ bị đóng cửa.
• Công thức $\{ x, \neg x \}$ cho mọi $x \in X$ là một mâu thuẫn. Vì vậy, $\emptyset$ được đóng lại.
• Đóng cửa dưới ngã tư tùy ý. Giả sử $F_{i}$ là một công thức cho mỗi $i \in I$ . Sau đó $\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$ .
• Đóng cửa dưới sự kết hợp hữu hạn. Giả sử $F$ và $G$ là hai công thức và xác định $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ Sau đó $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$ . Điều này cần một đối số, nhưng tôi sẽ bỏ qua điều này.

Gọi cấu trúc liên kết này $\mathcal T$ , "cấu trúc liên kết thỏa đáng" (!) Trên $\Sigma$ . Tất nhiên, các bộ mở của cấu trúc liên kết này có dạng $\unsat(F)$ . Hơn nữa, tôi quan sát thấy rằng bộ sưu tập của bộ mở

Gọn nhẹ? Tôi cảm thấy rằng đây là một cách thú vị, nếu không muốn nói là rất hữu ích, để xem xét mọi thứ. Tôi muốn hiểu liệu không gian tôpô này có sở hữu các đặc tính thú vị truyền thống như sự gọn nhẹ, tính kết nối, v.v. Trong bài đăng này, chúng tôi sẽ giới hạn bản thân về sự gọn nhẹ:

Đặt là tập hợp các biến vô hạn. ¹ Is nhỏ gọn dưới ?$X$$\Sigma$$\mathcal T$

Người ta có thể chứng minh những điều sau đây

Dự luật. là compact khi và chỉ cho tất cả các công thức không thể thoả mãn , tồn tại một subformula hữu hạn không thể thoả mãn .$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(Bài tập không quá khó!) Sau nhiều ngày suy nghĩ, tôi không có nhiều tiến bộ trong việc trả lời câu hỏi này. Tôi cũng không có bằng chứng mạnh mẽ cho hoặc chống lại sự nhỏ gọn. Bạn có thể đề xuất một số cách tiếp cận?

Cuối cùng, như một câu hỏi thưởng:

Cấu trúc như vậy đã được nghiên cứu trước đây?

¹ Hạn chế đối với có thể đếm được chỉ vì đơn giản; nó cũng cảm thấy giống như bước tự nhiên tiếp theo từ số lượng biến hữu hạn.$X$

Những gì bạn đang làm là lấy một biểu diễn tô pô của đại số Boolean. Nghiên cứu về các đại diện của đại số Boolean ít nhất là từ Lindenbaum và Tarski, người đã chứng minh (vào năm 1925, tôi nghĩ) rằng các đại số Boolean nguyên tử hoàn toàn đồng hình với các mạng lũy ​​thừa.

Tuy nhiên, có những đại số Boolean không hoàn chỉnh và nguyên tử. Ví dụ, trình tự , là một chuỗi giảm dần mà không có giới hạn trong đại số Boolean xác định trên công thức. Câu hỏi về việc liệu các đại số Boolean tùy ý, chẳng hạn như đại số mà bạn đề cập, cũng có các đại diện dựa trên tập hợp đã được giải quyết bởi Marshall Stone , người đưa ra câu châm ngôn "luôn luôn tô pô" (Marshall H. Stone. Đại diện của đại số Boolean , 1938) .$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

Định lý biểu diễn của Stone cho đại số Boolean Mỗi đại số Boolean là đẳng cấu với mạng tinh thể của các tập con clopen của một không gian tôpô.

Ý tưởng chính là xem xét những gì trong trường hợp của bạn là các bài tập thỏa mãn cho một công thức. Trong trường hợp chung, bạn xem xét sự đồng hình từ một đại số Boolean vào hai yếu tố đại số Boolean (các giá trị thật). Nghịch đảo của cung cấp cho bạn các tập hợp thỏa mãn, hoặc cái được gọi là siêu lọc của đại số Boolean. Từ những điều này, người ta có thể có được một cấu trúc liên kết gọi là không gian phổ hoặc Đá của đại số Boolean. Stone cung cấp câu trả lời cho câu hỏi của bạn quá.$\mathit{true}$

Không gian Stone của đại số Boolean là một không gian Hausdorff nhỏ gọn, hoàn toàn bị ngắt kết nối.

Đã có một số kết quả mở rộng và khái quát hóa đại diện của Stone theo nhiều hướng khác nhau. Một câu hỏi tự nhiên là hỏi xem các gia đình khác của mạng có đại diện như vậy không. Kết quả của Stone cũng áp dụng cho các mạng phân phối. Các đại diện tô pô cho các mạng tùy ý đã được đưa ra bởi Alasdair Urquhart vào năm 1978. Các mạng phân phối có sự đa dạng lớn hơn về cấu trúc, so với các đại số Boolean và rất đáng quan tâm. Một đại diện khác nhau cho trường hợp phân phối đã được đưa ra bởi Hilary Priestley vào năm 1970, sử dụng ý tưởng về một không gian tôpô có trật tự . Thay vì các biểu diễn dựa trên tập hợp, chúng ta có thể tìm thấy các biểu diễn và cấu trúc liên kết dựa trên poset.

Các công trình xây dựng trong các giấy tờ này có một tài sản đáng chú ý. Bản đồ xây dựng của Stone không chỉ là đại số Boolean đến các không gian tôpô: các mối quan hệ cấu trúc liên quan đến đại số Boolean chuyển thành các thuộc tính cấu trúc giữa các cấu trúc liên kết. Đó là một sự đối ngẫu giữa các loại. Toàn bộ gam của các kết quả như vậy được gọi là Stone Duality . Một cách không chính thức, tính đối ngẫu cung cấp cho chúng ta các bản dịch chính xác giữa các vũ trụ toán học: thế giới tổ hợp của các tập hợp, thế giới đại số của mạng tinh thể, thế giới không gian của cấu trúc liên kết và thế giới logic suy diễn. Dưới đây là một vài điểm bắt đầu có thể giúp đỡ.

1. Chương 11 của Giới thiệu về Lưới và Trật tự , của Davey và Priestley trình bày định lý của Stone.
2. Các slide của Matthew Gwynne bao trùm định lý và đưa ra bằng chứng về sự nhỏ gọn. Matthew (trong các bình luận) cũng gợi ý Giới thiệu về Boolean Algebras của Paul Halmos.
3. Khi chuyển từ logic mệnh đề sang logic phương thức, đại số Boolean được mở rộng với toán tử bảo toàn liên kết và cấu trúc liên kết với phần bên trong. Bài báo năm 1952 của Jónsson và Tarski, Boolean Algebras with Toán tử cực kỳ dễ đọc và phù hợp với ký hiệu hiện đại.
4. Chương 5 của Modal Logic của Blackburn, de Rijke và Venema trình bày định lý của Stone và phần mở rộng của nó đối với đại số Boolean với các toán tử.
5. Stone Spaces của Peter Johnstone đánh giá kết quả như vậy đối với các loại đại số khác.