Tiền xử lý tối ưu cho các loại truy vấn nhất định

Giả sử chúng ta có một -nửa nhóm với các yếu tố S = { s 1 , s 2 , ... , s n } . Mục tiêu của chúng tôi là để tính toán sản phẩm s i ∘ s i + 1 ∘ ⋯ ∘ s j .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Trong bài báo "Tiền xử lý tối ưu để trả lời các truy vấn sản phẩm trực tuyến" Alon và Schieber chứng minh rằng chúng tôi có thể trả lời từng truy vấn như vậy trong hầu hết các bước (trong đó α là hàm Ackermann nghịch đảo) bằng cách chỉ sử dụng số lượng tuyến tính của tiền xử lý.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Nếu nó là mong muốn rằng mỗi truy vấn có thể được trả lời trong O ( log ( j - i ) ) bước, có thể chúng ta vẫn làm điều này với chỉ tuyến tính tiền xử lý?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ đây câu hỏi gần đây của Brendan McKay tại Mathoverflow.)

$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$$s_i$$s_j$