Đây là một câu hỏi nghiên cứu tuyệt vời với nhiều khía cạnh của nó, và có nhiều cách khác nhau để chính thức hóa câu hỏi tùy thuộc vào việc bạn trích xuất có nghĩa là máy chiết hạt giống hay máy chiết xuất không hạt và theo PRG, bạn có nghĩa là PRG cho mạch Boolean hoặc một gia đình chuyên biệt hơn (vd , không gian thiên vị epsilon). Đây là một vài suy nghĩ không chính thức ngoài đầu tôi (nhưng không phải là một câu trả lời đầy đủ):
Đối với các trình trích xuất có hạt so với PRG hộp đen (như trong Nisan-Wigderson), có vẻ như PRG hộp đen là một đối tượng mạnh hơn so với trình trích xuất. Nếu bạn nhìn vào trình trích xuất của Trevisan, nó không chỉ là một trình trích xuất tính toán theo thời gian đa thức mà còn có một thuộc tính bổ sung quan trọng. Cụ thể, phân tích có một yếu tố tính toán cục bộ và hiệu quả trong đó (cụ thể là thuật toán giải mã danh sách cục bộ). Tính năng bổ sung này không quá quan trọng đối với một trình trích xuất (với tư cách là một đối tượng kết hợp, ngay cả khi chúng ta yêu cầu trình trích xuất phải tính toán theo thời gian đa thức) nhưng rất quan trọng đối với PRG (để có thể chuyển đổi một cách hiệu quả thành thuật toán để tính toán chức năng cứng). Trên thực tế, điều này có thể được chính thức hóa, và Ta-Shma và Zuckerman đã chính thức hóa định nghĩa về "PRG hộp đen" trong bài báo "Mã trích xuất" của họ. Chúng cho thấy rằng PRG hộp đen có thể được sử dụng để xây dựng các trình trích xuất. Đối với điều ngược lại, tôi nghĩ người ta có thể chỉ ra rằng bất kỳ trình trích xuất nào thỏa mãn tính chất trên đều tương ứng với PRG hộp đen (theo ngôn ngữ của trình trích xuất, điều này có nghĩa là mã giải nén kết quả phải có bộ giải mã danh sách quyết định mềm hiệu quả). Bạn cũng có thể tìm thấy bài báo "Lý thuyết thống nhất về giả danh" của Roxhan liên quan đến cuộc thảo luận này.
Trong thế giới của máy chiết xuất không hạt, Trevisan và Vadhan cho thấy rằng các chức năng cứng cho một họ mạch cụ thể dẫn đến máy chiết cho gia đình đó (bài viết "Máy trích xuất cho các nguồn có thể thay thế"). Vì vậy, ví dụ, một hàm thực sự khó trung bình cho AC0 có thể trích xuất từ các nguồn được lấy mẫu bởi các mạch AC0 (nếu entropy tối thiểu của nguồn đủ lớn). Các chức năng cứng tự nhiên liên quan đến PRG (theo quan sát của Nisan-Wigderson). Vì vậy, ở đây chúng ta lại nhận được một sự tương tác khác nhau giữa PRG và các máy chiết xuất không hạt. Tuy nhiên, rõ ràng là làm thế nào người ta có thể sử dụng một trình trích xuất cho các nguồn có thể lấy mẫu (có thể đáp ứng một số thuộc tính bổ sung) để có được PRG (điểm đạn tiếp theo đưa ra câu trả lời một phần cho điều này). Hướng này có thể ít thú vị hơn so với các cuộc thảo luận ở trên cho các nhà khai thác hạt giống kể từ ngày này, chúng tôi không '
Từ quan điểm tổ hợp, có một sự tương đồng giữa PRG và trích xuất. Chúng ta có thể xem PRG như một tập hợp của các điểm trong { 0 , 1 } n (kết quả của PRG cho tất cả các hạt có thể) hoặc tương đương, một màu của hypercube n -hai chiều có hai màu. Tương tự, một trình trích xuất có một bit đầu ra (hoặc bất kỳ hàm Boolean nào, đối với vấn đề đó) có thể được xem như một tập hợp các điểm (những điểm mà trình trích xuất đánh giá 0 ) hoặc tô màu (nói chung, số lượng màu sẽ là 2 m Trong đó m là chiều dài đầu ra). Bây giờ, một PRG với tập hợp điểm S đánh lừa một hàm với tập hợp điểmS{ 0 , 1 }nn02mmS khi và chỉ khi | S ∩ F | / | S | gần với | F | / 2 n . Ngoài ra, một trình trích xuất với tập hợp điểm F trích xuất từ một nguồn phẳng được phân phối đồng đều trên một tập hợp các điểm S iff | S ∩ F | / | S | gần 1 / 2 . Sự giống nhau giữa các định nghĩa cho phép người ta suy ra một số kết luận có ý nghĩa. Ví dụ: nhìn vào một trình trích xuất affine qua { 0 , 1F| S∩ F| / | S|| F| / 2nFS| S∩ F| / | S|1 / 2 trích xuất từ min-entropy n - 1 và xuất ra 1 bit. Bây giờ hãy xem xét tập S của các chuỗi được ánh xạ tới, giả sử là 0 bởi trình trích xuất và dịch nó như trên thành "PRG" (với độ dài hạt n - 1 ). Bây giờ giải thích tô màu ở trên cho thấy hàm kết quả thực sự là một PRG cho các hàm tuyến tính; đó là, chúng ta có một bộ tạo thiên vị epsilon từ một bộ trích xuất. Đây là một mối quan hệ có ý nghĩa nhưng có lẽ không hữu ích vì PRG kết quả kéo dài hạt giống chỉ một chút. Có thể kết quả tốt hơn có thể được suy ra nếu trình trích xuất tạo ra nhiều bit hơn, nhưng tôi đã không kiểm tra cẩn thận.{ 0 , 1 }nn - 11S0n -1