Máy tính đã giúp chứng minh một định lý ở đâu và như thế nào?

Mục đích của câu hỏi này là thu thập các ví dụ từ khoa học máy tính lý thuyết trong đó việc sử dụng máy tính có hệ thống là hữu ích

1. trong việc xây dựng một phỏng đoán dẫn đến một định lý,
2. làm sai lệch một cách tiếp cận phỏng đoán hoặc bằng chứng,
3. xây dựng / xác minh (một phần của) một bằng chứng.

Nếu bạn có một ví dụ cụ thể, vui lòng mô tả cách nó được thực hiện. Có lẽ điều này sẽ giúp những người khác sử dụng máy tính hiệu quả hơn trong nghiên cứu hàng ngày của họ (điều dường như vẫn còn là một thực tiễn khá phổ biến trong TCS như ngày nay).

(Được gắn cờ là wiki cộng đồng, vì không có câu trả lời "chính xác" nào.)

Một ví dụ rất nổi tiếng là Định lý Bốn màu , ban đầu được chứng minh bằng cách kiểm tra toàn diện.

$n$

Cho thấy vấn đề tam giác trọng lượng tối thiểu (MWT) là NP-hard là một vấn đề mở từ lâu, gây khó khăn bởi thực tế là độ dài cạnh liên quan đến căn bậc hai, và độ chính xác mong muốn cần thiết để tính toán chính xác những khó khăn này bị ràng buộc.

Mulzer và Rote đã chỉ ra rằng MWT là NP-hard và trong quá trình sử dụng hỗ trợ máy tính để xác minh tính chính xác của các tiện ích của họ. Theo tôi biết, không có bằng chứng thay thế.

Bằng chứng của Thomas Hales (trang web của anh ấy, MathSciNet ) về phỏng đoán Kepler liên quan đến rất nhiều phân tích trường hợp - và các trường hợp đã được xác minh bằng máy tính - rằng anh ấy đã quyết định thử một bằng chứng chính thức về nó. Dự án của anh ấy để làm như vậy là FlysPecK , và anh ấy ước tính sẽ mất 20 năm làm việc.

Các nhà nghiên cứu về Ngôn ngữ lập trình thường xuyên sử dụng các bằng chứng hỗ trợ máy tính trong công việc của họ, mặc dù tôi không biết điều này cần thiết như thế nào trong quá trình nghiên cứu của họ (mặc dù điều đó chắc chắn giúp họ không phải viết ra hàng tấn thao tác tẻ nhạt).

Doron Zeilberger đã thực hiện một số công việc trong lĩnh vực chứng minh do máy tính tạo ra. Đáng chú ý nhất, anh ta đã chuẩn bị một chương trình Maple để chứng minh danh tính hình học , và một chương trình khác để chứng minh một lớp nhận dạng tổ hợp . Một số trong những phương pháp được đề cập trong cuốn sách A = B .

Máy tính cũng đã được sử dụng để xác định giới hạn trên về thời gian chạy của các chương trình quay lui giải quyết các vấn đề NP-hard và xây dựng các tiện ích để chứng minh kết quả không thể đạt được. Điều này và các chủ đề đầy niềm vui khác đang chờ bạn trong một bài luận ngắn (cảnh báo, tự quảng cáo cực đoan phía trước) có tên "Áp dụng thực hành vào lý thuyết." Xem http://arxiv.org/abs/0811.1305

Đưa ra danh sách tốt đẹp này, có vẻ như tôi nên cập nhật bài báo!

Một ví dụ cho phỏng đoán Hirsch , quan trọng đối với lập trình tuyến tính và tổ hợp đa diện, đã được Francisco Santos đề xuất rất gần đây. Xác minh máy tính được sử dụng trước tiên để thiết lập một số thuộc tính cần thiết của ví dụ, mặc dù các đối số không có sự trợ giúp của sức mạnh tính toán đã được phát hiện sau đó, xem Bài đăng trên blog của Gil Kalai hoặc bài báo trên arxiv .

Không thấy điều này được đề cập ở đây, nhưng một người ủng hộ định lý tự động đã giải quyết vấn đề mở từ lâu về việc liệu đại số Robbins có phải là boolean hay không:

http://www.cs.unm.edu/~mccune/auge/robbins/

Điều này đặc biệt đáng chú ý vì máy tính đã phát triển toàn bộ bằng chứng và vấn đề đã được mở trong vài thập kỷ.

Không hoàn toàn chắc chắn nếu nó đủ điều kiện là TCS, nhưng có thể nói nó có liên quan chặt chẽ.

Các thuật toán Karloff-Zwick cho MAX-3SAT đạt được dự kiến thực hiện 7/8. Tuy nhiên, phân tích dựa trên sự bất bình đẳng khối lượng hình cầu chưa được chứng minh. Những bất bình đẳng này cuối cùng đã được xác nhận thông qua các bằng chứng hỗ trợ máy tính trong một bài báo khác của Zwick .

Bên cạnh bằng chứng của Hales đối với phỏng đoán Kepler như đã đề cập ở trên, bằng chứng cho phỏng đoán của Honeycomb và một bằng chứng cho phỏng đoán Dodecah thờ cũng được máy tính hỗ trợ.

Bạn có thể xem trang chủ của Shalosh B. Ekhad . Máy tính này đã được xuất bản giấy trong một thời gian (thường là với các đồng tác giả).

Christian Urban đã sử dụng trợ lý chứng minh của Isabelle để kiểm tra một trong những định lý chính trong luận án tiến sĩ của mình thực ra là một định lý [1]. Sử dụng trợ lý, một vài thay đổi cần phải được thực hiện, nhưng kết quả khá nhiều đứng lên.

Tương tự, Urban và Narboux cũng phát hiện ra lỗi trong một bằng chứng bằng bút và giấy về bằng chứng hoàn chỉnh của Crary để kiểm tra tính tương đương.

Meikle và Fleuriot đã chính thức hóa Grundlagen của Hilbert ở Isabelle và chứng minh rằng, trái với tuyên bố của Hilbert, anh ta vẫn dựa vào sự can thiệp của mình để chính thức hóa hình học theo cách tiên đề (IIRC có những lỗ hổng trong chứng minh của anh ta về giả thuyết về Hilbert. .

[1]: Xem xét lại việc cắt bỏ: Một bằng chứng khó khăn thực sự là một bằng chứng

[2]: Chính thức hóa bằng chứng hoàn toàn danh nghĩa của Isabelle Crary để kiểm tra tính tương đương

[3]: Chính thức hóa Grundlagen của Hilbert ở Isabelle / Isar

Các kết quả trong " Hình học của cây tìm kiếm nhị phân " của Demaine, Harmon, Iacono, Kane và Patraşcu đã được phát triển với sự trợ giúp của phần mềm để kiểm tra các sơ đồ sạc khác nhau và tạo ra các cú đánh tối ưu cho các chuỗi truy cập nhỏ. (Và vâng, "lừa" là thuật ngữ chính xác.)

N. Shankar đã xác minh (đầy đủ và máy móc) bằng chứng của Godel về định lý không hoàn chỉnh và định lý Giáo hội - Rosser sử dụng định lý Boyer - Moore. Có một cuốn sách mô tả nó đã được thực hiện như thế nào.

Công thức của thuật toán Bailey-Borwein-Plouffe để tính toán bit thứ n của Pi mà không tính toán bất kỳ bit nào quan trọng hơn đã được phát hiện, theo Simon Plouffe , sử dụng các hệ thống bằng chứng máy tính.

Có rất nhiều ví dụ trong phân tích trường hợp trung bình của các thuật toán. Có thể một số sớm nhất là các thí nghiệm máy tính dẫn đến bài báo "Một số kết quả hành vi dự kiến ​​bất ngờ đối với việc đóng gói bin" của Bentley, Johnson, Leighton, McGeoch và McGeoch trong STOC 1984.