Độ phức tạp của việc giảm thiểu kích thước công thức đa thức

Đặt là một đa thức d độ trong n biến trên F 2 , trong đó d là hằng số (giả sử 2 hoặc 3). Tôi muốn tìm công thức nhỏ nhất cho f , trong đó "công thức" và "kích thước công thức" được xác định theo cách rõ ràng (ví dụ: công thức nhỏ nhất cho đa thức x 1 x 2 + x 1 x 3 là x 1 ( x 2 + x 3 ) ).$f(x_1,\dots,x_n)$$d$$n$$\mathbb{F}_2$$d$$f$$x_1 x_2 + x_1 x_3$$x_1(x_2+x_3)$

Sự phức tạp của vấn đề này là gì - nó có phải là NP-hard không? Sự phức tạp phụ thuộc vào ?$d$

[Chính thức hơn, một công thức (còn gọi là "công thức số học") là một cây nhị phân có gốc, mỗi lá của nó được gắn nhãn với một biến đầu vào hoặc hằng số 1. Tất cả các đỉnh khác của cây đều được gắn nhãn hoặc × . Kích thước của công thức là số lượng lá được sử dụng. Công thức tính toán một đa thức đệ quy: + các đỉnh tính tổng của con cái của chúng trên các đỉnh F 2 , × tính toán sản phẩm. ]$+$$\times$$+$$\mathbb{F}_2$$\times$

Bạn có thể giảm bài toán TO-NP-Complete TAUTologyY (được đưa ra một công thức Boolean, có phải là tautology không?) Cho vấn đề giảm thiểu kích thước công thức (vì công thức là một tautology nếu nó tương đương với TRUE). Hơn nữa, TƯƠNG LAI cho 3DNF (tương tự SAT cho 3CNF) là đồng NP-Complete.

Không chính xác câu trả lời nhưng hy vọng sẽ giúp:

Câu hỏi này phải là NP khó cho d = 2 nếu bạn muốn biết công thức tối thiểu cho đa thức và không chỉ cho một. Bằng chứng như sau: Tồn tại một tương ứng giữa n công thức hai tuyến tính (công thức loại ∑ a i j x i y j ) và ma trận 3 ma trận tức là các phần tử trong F n 2 ⊗ F n 2 ⊗ F n 2 . Như vậy, thứ hạng tenor của ma trận chính xác là độ phức của phép nhân của n công thức tuyến tính.$n$$\sum a_{ij}x_iy_j$$F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

Được biết, tensor cấp bậc là vấn đề NP-khó (có lẽ gần giống tensor cấp bậc cũng là NP-hard). Do đó, độ phức tạp nhân của n công thức tuyến tính là vấn đề NP-hard$3$$n$

Bất kỳ câu trả lời cho điều này phụ thuộc rất nhiều vào từ vựng bạn cho phép trong câu trả lời. Nếu bạn muốn câu trả lời của mình có cùng ngôn ngữ với đầu vào (nghĩa là đa thức), điều đó dẫn đến một bộ câu trả lời, đó là điều mà các áp phích khác đang phải vật lộn.

Nhưng nếu bạn cho phép từ vựng câu trả lời của bạn được mở rộng, những điều tuyệt vời có thể xảy ra. Bạn có thể thấy một ví dụ về phân biệt biểu tượng và tự động: trong phân biệt biểu tượng, người ta chỉ cho phép 'biểu thức', có xu hướng nổ tung khá tệ; trong phân biệt tự động, người ta cho phép các chương trình đường thẳng trong câu trả lời (ngay cả khi đầu vào là một biểu thức), điều này giúp rất nhiều để kiểm soát sự phình ra của biểu thức. Đối với đa thức đơn biến, James Davenport và tôi đã trầm ngâm rằng bạn cũng cần phải sử dụng các đa thức cyclotomic như là một phần của từ vựng cơ bản của bạn (xem các tài liệu tham khảo về lý do tại sao các đa thức này dường như là nguồn thực sự duy nhất, cũng như các bài báo cho thấy kết quả giảm thiểu khác nhau giữa các vấn đề đa thức và 3SAT).

Nói cách khác, nếu bạn cho phép bản thân thay đổi những gì bạn cho là một câu trả lời một chút so với câu trả lời cổ điển, bạn có thể nhận được một câu trả lời khá khác biệt, tức là một câu có độ phức tạp tốt hơn nhiều. Nó phụ thuộc vào động lực ban đầu của bạn để đặt câu hỏi, cho dù hoàn toàn là lý thuyết hay với một ứng dụng trong đầu, để quyết định xem sự thay đổi trong từ vựng này có được bạn chấp nhận hay không. Trong bối cảnh mà James và tôi đã suy nghĩ về điều này (tính toán tượng trưng), việc điều chỉnh từ vựng để làm giảm độ phức tạp là hoàn toàn chấp nhận được (mặc dù hiếm khi được thực hiện).

Việc tối thiểu hóa mạch / công thức chung chắc chắn khó hơn kiểm tra định danh, vì kích thước công thức tối thiểu của bất kỳ danh tính nào chỉ đơn giản là bằng không. Về phần khó hơn, tôi không có câu trả lời dứt khoát nhưng có lẽ "thuật toán tái tạo" được nghiên cứu trong các mạch / công thức số học có thể là một cái gì đó dọc theo các dòng này.

$\mathcal{C}$$3$$\mathcal{C}$

$d$

$d=2$$x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$