Điểm của chuyển đổi trong phép tính lambda là gì?

18

Tôi nghĩ rằng tôi không hiểu nó, nhưng -conversion nhìn tôi như một -conversion không làm gì cả, một trường hợp đặc biệt của -conversion trong đó kết quả chỉ là thuật ngữ trong trừu tượng lambda vì không có gì cả để làm, loại chuyển đổi vô nghĩa . $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Vì vậy, có lẽ -conversion là một cái gì đó thực sự sâu sắc và khác biệt với điều này, nhưng, nếu có, tôi không hiểu và tôi hy vọng bạn có thể giúp tôi với nó. $\eta$

(Cảm ơn và xin lỗi, tôi biết đây là một phần của những điều cơ bản trong tính toán lambda)

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
nguồn

20

Cập nhật [2011/09/20]: Tôi mở rộng đoạn về $\eta$ -expansion và extensionality. Cảm ơn Anton Salikhmetov đã chỉ ra một tài liệu tham khảo tốt.

$\eta$ -conversion $(\lambda x . f x) = f$ là một trường hợp đặc biệt của $\beta$ - chuyển đổichỉtrong trường hợp đặc biệt khi $f$ là chính nó là một khái niệm trừu tượng, ví dụ như, nếu $f = \lambda y . y y$ sau đó

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$ Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu

f

$f$ là một biến hoặc một ứng dụng không giảm đến mức trừu tượng?

Theo một cách nào đó, $\eta$ -rule giống như một loại mở rộng đặc biệt, nhưng chúng ta phải cẩn thận một chút về cách thức được nêu. Chúng tôi có thể tuyên bố tính mở rộng như:

cho tất cả $\lambda$ -terms $M$ và $N$ , nếu $M x = N x$ thì $M = N$ , hoặc
với mọi nếu thì . $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

Cái đầu tiên là một tuyên bố meta về các điều khoản của -calculus. Trong đó xuất hiện như một biến chính thức, nghĩa là nó là một phần của -calculus. Nó có thể được chứng minh từ -rules, xem ví dụ Định lý 2.1,29 trong "Lambda Tính: Cú pháp và ngữ nghĩa của nó" của Barendregt (1985). Nó có thể được hiểu như là một tuyên bố về tất cả các hàm có thể xác định , nghĩa là những hàm đó là ký hiệu của -terms. $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

Câu lệnh thứ hai là cách các nhà toán học thường hiểu các câu toán học. Lý thuyết về -calculus mô tả một loại cấu trúc nhất định, chúng ta hãy gọi chúng là " -models ". Một -Người mẫu có thể là không đếm được, vì vậy không có gì bảo đảm rằng mọi phần tử của nó tương ứng với một -term (giống như có số thực hơn có biểu thức mô tả số thực). Extensionality sau đó nói: nếu chúng ta mất bất kỳ hai điều và trong một -Người mẫu, nếu cho tất cả trong mô hình, sau đó $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ . Bây giờ ngay cả khi mô hình đáp ứng các -rule, nó không cần phải đáp ứng extensionality theo nghĩa này. (Cần tham khảo ở đây và tôi nghĩ chúng ta cần cẩn thận cách giải thích sự bình đẳng.) $\eta$

Có một số cách mà chúng ta có thể thúc đẩy - và -conversions. Tôi sẽ chọn ngẫu nhiên một loại lý thuyết, cải trang thành -calculus, và ai đó có thể giải thích lý do khác. $\beta$ $\eta$ $\lambda$

Chúng ta hãy xem xét các đánh máy -calculus (vì nó ít gây nhầm lẫn, nhưng ít nhiều lập luận cùng làm việc cho untyped -calculus). Một trong những luật cơ bản mà nên giữ là luật hàm mũ (Tôi đang sử dụng các ký hiệu và thay thế cho nhau, chọn bất kỳ ký hiệu nào có vẻ tốt hơn.) Các đẳng cấu và $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

trông thấy quen quen, viết bằng

-calculus? Có lẽ họ sẽ là

và

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

i = λ f : C^{A \times B} . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

Một tính toán ngắn với một vài

-reductions (bao gồm

-reductions

và

cho sản phẩm) cho chúng ta biết rằng, đối với mỗi

ta có

j = λ g : (C^{B})^{A} . λ p : A \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

Kể từ khi

và

là phần tử nghịch đảo của nhau, chúng tôi hy vọng

, nhưng để thực sự chứng minh này, chúng ta cần phải sử dụng

-reduction hai lần:

i (j g) = λ a : A . λ b : B . g a b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

Vì vậy, đây là một trong những lý do để có

-reductions. Bài tập:

nào là cần thiết để chỉ ra rằng

?

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— Andrej Bauer
nguồn

"Ngoài ra, tôi đã nghe nó nói rằng η-quy tắc là về extensionality chức năng. Đây là false" Nếu bạn tăng thêm

tiên đề -equality và quy tắc suy luận với sự cai trị extensionality (xem câu trả lời của tôi), bộ này của suy luận quy tắc chụp chính xác

-equality, đúng không? (tức là hai nhiệm kỳ đều bình đẳng về mặt lý thuyết này khi và chỉ khi họ

-equal)

β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

— Marcin Kotowski

@Marcin: có, tính mở rộng ngụ ý

-rule, nhưng không phải ngược lại. Làm thế nào bạn có thể thừa extensionality từ

- và

-rules?

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

— Andrej Bauer

1

hãy

biểu thị tương đẳng nhỏ nhất có chứa

và đáp ứng extensionality (nếu

, sau đó

). Sau đó

khi và chỉ khi

(xem ví dụ chương đầu tiên của Urzyczyn, Sorensen "Bài giảng trên Curry-Howard đẳng cấu) và theo nghĩa này

chụp -rule khái niệm extensionality.

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

— Marcin Kotowski

Tôi thấy, bạn đang nghĩ về tính mở rộng như một lược đồ, nghĩa là, chúng tôi chứng minh rằng nó phù hợp với mọi cặp thuật ngữ

và

. Tôi đã nghĩ về tính mở rộng như một tuyên bố. Tôi nghĩ. Bây giờ tôi phải suy nghĩ về nó.

M

$M$

N

$N$

— Andrej Bauer

1

@AndrejBauer Tôi đồng ý rằng quy tắc not không phải là tính mở rộng hoàn toàn, nhưng bạn không nghĩ rằng nó vẫn là một hình thức mở rộng hạn chế, tức là nó đại diện cho một lớp các trường hợp mở rộng rõ ràng. Câu hỏi ban đầu là tìm kiếm các động lực và khái niệm, và trong trường hợp này tôi tin rằng suy nghĩ về tính mở rộng là hữu ích (với một số lưu ý tất nhiên là không đi quá xa).

— Marc Hamann

9

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi có thể cung cấp trích dẫn sau đây từ chuyên khảo tương ứng của Lamb Lambda Compus. Cú pháp và ngữ nghĩa của nó (Barendregt, 1981):

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Chứng minh của nó dựa trên định lý sau.]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

Các lý thuyết hoàn chỉnh của HP [sau HilbertTHER Post] tương ứng với các lý thuyết nhất quán tối đa trong lý thuyết về các mô hình cho logic thứ nhất.

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

Đây là hệ quả của định lý Böhm.

— cody
nguồn

6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— Marcin
nguồn

η

$\eta$

Xem Định lý 2.1,29 trong chuyên khảo của Barendregt (Lambda Tính và ngữ nghĩa của nó, 1985).

2

ξ

$\xi$

Và tôi cũng không vui vì hạnh phúc và nghe về những câu trả lời giống như thế được nhiều người chú ý hơn những trích dẫn có liên quan trực tiếp với các tài liệu tham khảo tương ứng.

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$