Trường hợp hoàn toàn cổ điển (MIP)
Nếu trình xác minh là cổ điển và không có sự vướng mắc trước đó giữa các provers, lớp của bạn chứa BPP∪NP và được chứa trong MA .
Thật tầm thường khi BPP là một giới hạn thấp hơn. Để chỉ ra rằng lớp có NP, hãy xem xét hệ thống bằng chứng tương tác hai vòng tiêu chuẩn cho khả năng 3 màu với độ hoàn thiện hoàn hảo và lỗi âm thanh 1−1 / poly. Nếu bạn muốn giảm sai số âm thanh xuống một hằng số, hãy kết hợp điều này với định lý PCP.
Đối với giới hạn trên, câu lệnh mạnh hơn sau giữ: MIP với hạn chế là tổng độ dài tin nhắn từ trình xác minh đến mỗi câu tục ngữ là O (log n ) bằng MA. Điều này là do một chiến lược của mỗi câu tục ngữ có thể được mô tả bằng một chuỗi độ dài đa thức.
Thật thú vị, một giới hạn trên khác tồn tại khi hệ thống có sự hoàn thiện hoàn hảo. Cụ thể, các hệ thống bằng chứng tương tác đa tiến trình với tính hoàn chỉnh hoàn hảo với tổng giao tiếp O (log n ) -bit nhận ra tối đa P NP [log] , và điều này giữ ngay cả khi chúng tôi cho phép lỗi âm thanh không bị chặn. Để chứng minh điều này trong trường hợp có hai provers, hãy x s là phép nối của tất cả các câu trả lời được đưa ra bởi prover đầu tiên khi ghép tất cả các câu hỏi cho prover thứ nhất là s và định nghĩa y t cho prover thứ hai. Để được người xác minh chấp nhận một cách chắc chắn, các biến này x s và y tphải đáp ứng các ràng buộc nhất định và lưu ý rằng đây là 2CSP. Có nhiều nhất các lựa chọn poly ( n ) cho các bộ dữ liệu ( s , t , x s , y t ) và với mỗi lựa chọn, chúng ta có thể sử dụng NP orory để kiểm tra xem trình xác minh có từ chối bộ dữ liệu đó hay không. Do đó, với nhà tiên tri NP, chúng ta có thể liệt kê tất cả các ràng buộc trên các biến x s và y ttrong thời gian đa thức. Cuối cùng, chúng tôi sử dụng NP oracle một lần nữa để kiểm tra xem có một phép gán cho các biến này có thỏa mãn tất cả các ràng buộc hay không. Mặc dù thuật toán này sử dụng đa thức NP nhiều lần, nhưng tất cả các truy vấn ngoại trừ truy vấn cuối cùng có thể được thực hiện song song và do đó, thuật toán này có thể được chuyển đổi sang thuật toán P NP [log] . Trường hợp của hơn hai provers là tương tự.
Giới hạn trên này ngụ ý rằng mặc dù mọi hệ thống MA có thể được chuyển thành một hệ thống hoàn chỉnh hoàn hảo, chúng ta không thể hy vọng vào một hệ thống bằng chứng tương tác đa tiến trình với sự hoàn thiện hoàn hảo với giao tiếp O (log n ) trừ khi MA⊆P NP [log] . Tôi không biết mức độ bao gồm NP MA logP NP [log] là bao nhiêu, nhưng tôi chỉ lưu ý rằng Động vật học phức tạp nói rằng có một lời tiên tri liên quan đến NP NPP⊈ P (và do đó rõ ràng là NP MA logP [log] ).
(Trong trường hợp của một người hoạt động, Định lý 2 của Goldreich và Håstad [GH98] ngụ ý rằng IP có tổng số bit O (log n ) có độ dài bằng với BPP.)
Đã thêm . Một đặc tính cần và đủ là như sau.
Để giải thích đặc tính này, chúng ta cần một biến thể của khái niệm về tính khử Karp (tính khử nhiều lần một đa thức). Đối với hai vấn đề quyết định A và B , giả sử rằng A là FP BPP - có thể hiểu được B (tôi biết, đây là một cái tên khủng khiếp) khi có một máy Turing đa thời gian xác định M có quyền truy cập vào nhà tiên tri BPP có bản đồ các trường hợp có trường hợp có và không có trường hợp nào không có trường hợp, trong đó chúng tôi cho phép truy cập oracle không thông minh của Wap (có nghĩa là Mcó thể thực hiện một truy vấn tới nhà tiên tri BPP về một trường hợp không thỏa mãn lời hứa của vấn đề BPP, trong trường hợp đó, nhà tiên tri trả về có hoặc không tùy ý). Sau đó, có thể chứng minh rằng các điều kiện sau đây về một vấn đề A là tương đương.
(i) A có một hệ thống bằng chứng tương tác đa tiến trình với giao tiếp quỹ đạo O (log n ) và lỗi giới hạn hai mặt.
(ii) A có hệ thống bằng chứng tương tác hai vòng với hai giao tiếp với O (log n ), lỗi hoàn thành nhỏ theo cấp số nhân và lỗi âm thanh không đổi.
(iii) A là FP BPP - có thể giải quyết được vấn đề trong NP.
(Ý tưởng bằng chứng: Hàm ý (ii) (i) là tầm thường. Hàm ý (i) (iii) có thể thu được theo cách tương tự như bằng chứng trên trong trường hợp lỗi một phía. Hàm ý (iii) (ii ) tuân theo định lý PCP vì loại vấn đề thỏa mãn điều kiện (ii) được đóng lại theo tính khả dụng của BP BPP .)
Trình xác minh cổ điển với các provers vướng víu (MIP *)
Tiếp theo xem xét trường hợp với một trình xác minh cổ điển và provers vướng mắc. Trong trường hợp này, lớp có lỗi giới hạn lại chứa BPP∪NP.
Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner và Vidick [KKMTV11] cho thấy mọi vấn đề trong NP đều có hệ thống bằng chứng tương tác ba vòng với ba mức độ hoàn chỉnh và độ âm hoàn hảo 1−1 / poly trong đó tổng độ dài của tin nhắn là O ( log n ) bit, và âm thanh chống lại các provers vướng víu. Do đó, MIP * với tổng số bit O (log n ) và lỗi giới hạn chứa NP. Một kết quả sau đó của Ito, Kobayashi và Matsumoto [IKM09] (phích cắm không biết xấu hổ) làm giảm số lượng provers từ ba xuống còn hai. Các trường hợp của âm thanh liên tục được mở ở đầu kiến thức của tôi.
Người ta không biết liệu MIP * có tổng số bit O (log n ) có được chứa trong lớp R của các vấn đề có thể quyết định hay không và câu hỏi này có tương đương với việc MIP * ⊆R (một vấn đề mở khác) bởi đối số đệm không.
Người giới thiệu
[GH98] Oded Goldreich và Johan Håstad. Về sự phức tạp của bằng chứng tương tác với giao tiếp bị ràng buộc. Thư xử lý thông tin , 67 (4): 205 Mạnh214, tháng 8 năm 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi và Keiji Matsumoto. Bằng chứng phổ biến và bằng chứng tương tác hai vòng đối với các chiến lược không nhắm mục tiêu. Kỷ yếu: Hội nghị IEEE thường niên lần thứ hai mươi bốn về độ phức tạp tính toán (CCC 2009) , 217 Từ228, tháng 7 năm 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner, và Thomas Vidick. Trò chơi vướng víu là khó gần đúng. Tạp chí SIAM về máy tính , 40 (3): 848 Từ877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293