Trên lớp nào của đồ thị là NP-hard ràng buộc tài nguyên (RCSP)?

Tôi đang tìm cách liên kết một vấn đề tôi đang làm việc với một vấn đề NP-hard đã biết. Tôi nghĩ rằng tôi có thể mô hình hóa vấn đề của mình như là một vấn đề đường dẫn ngắn nhất bị hạn chế tài nguyên. Tuy nhiên, cấu trúc biểu đồ của tôi không hoàn toàn tùy ý. Vì vậy, sẽ rất hữu ích khi biết RCSP trở nên khó khăn. DAG có khó không, đối với DAG phẳng, đối với DAG với mức độ giới hạn? Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng!

Tôi không biết liệu bạn có còn quan tâm đến câu hỏi (cũ) này không và liệu tôi có hiểu rõ các hạn chế về tài nguyên mà bạn đã đưa ra trong nhận xét hay không; tuy nhiên, có vẻ như vấn đề của bạn (hơi khác so với các vấn đề RCSP thông thường) là NP hoàn chỉnh cho các đồ thị phẳng (không theo hướng hoặc theo hướng hoặc theo hướng) theo cấp độ tối đa 3 .

Việc giảm dễ dàng là từ 3-SAT. Đưa ra công thức với biến và mệnh đề :$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...C_m$

• thêm một ràng buộc tài nguyên được đặt với hai đỉnh cho mỗi bằng chữ dương trong và một ràng buộc tài nguyên được đặt với hai đỉnh cho mỗi chữ trong ;$M_k^+$$x_k$$\varphi$$M_k^-$$\bar{x}_k$$\varphi$
• bắt đầu xây dựng đồ thị từ một nút nguồn và với mỗi biến chia đường dẫn thành hai dòng : đường trên nằm trên một đỉnh của tất cả tương ứng với một chữ ; cái thấp hơn đi qua một đỉnh của tất cả tương ứng với một theo nghĩa đen ;$s$$x_i$$M_k^-$$\bar{x}_k$$M_k^+$$x_k$
• sau đó với mỗi chia đường dẫn thành 3 dòng đi song song với 3 đỉnh tương ứng với chữ của và được chọn từ hoặc ;$C_j$$C_j$$M_k^+$$M_k^-$
• cuối cùng thêm một nút chìm .$t$

Đường dẫn từ đến tồn tại khi và chỉ khi công thức ban đầu là thỏa đáng (nghĩa là không mất tính tổng quát, bạn có thể yêu cầu đường dẫn có độ dài ).$s$$t$$\leq |V|$

Không chính thức khi đi qua phần biến , nếu bạn chọn dòng trên ( gán đúng ) thì bạn phải "sử dụng" một trong các đỉnh của tất cả các ràng buộc tài nguyên cũng chứa một đỉnh có thể được sử dụng sau này để đi qua ( thỏa mãn) một mệnh đề chứa . Nếu bạn chọn dòng dưới ( gán sai ) thì bạn phải "sử dụng" một trong các đỉnh của tất cả các bộ ràng buộc tài nguyên cũng chứa một đỉnh có thể được sử dụng sau này để đi qua (thỏa mãn) một mệnh đề chứa . Khi đi qua từng mệnh đề, ít nhất một trong ba đỉnh phải được chứa trongM - k ˉ x i M + k x i M $x_i$$M_k^-$$\bar{x}_i$$M_k^+$$x_i$$M_k$ chưa được "sử dụng" (tức là ít nhất một trong số chúng có thể được sử dụng để đáp ứng mệnh đề).

Hình dưới đây sẽ làm cho việc giảm rõ ràng hơn. Các tập ràng buộc tài nguyên được biểu diễn bằng các màu riêng biệt (và với mỗi màu có chính xác 2 đỉnh).$M_k$

C 2 = x 2 ∨ ˉ x 3 ∨ x 4 C 3 = ˉ x 1 ∨ x 3 ∨ ˉ x$C_1 = x_1 \lor \bar{x}_2 \lor x_3$
$C_2 = x_2 \lor \bar{x}_3 \lor x_4$
$C_3 = \bar{x}_1 \lor x_3 \lor \bar{x}_2$

Bạn cũng có thể dễ dàng thực hiện các biểu đồ hướng, acyclic và bipartite. Hãy cho tôi biết nếu bạn cần thêm chi tiết (hoặc nếu tôi hoàn toàn hiểu sai vấn đề :-).

Như Saaed đã lưu ý, vấn đề là có thể điều chỉnh tham số cố định đối với (chỉ cần xem xét tất cả các tập hợp con có thể có của các nút bị ràng buộc và đối với mỗi kết hợp chạy thuật toán đường dẫn ngắn nhất).$k$