Có sự phân tách tự nhiên trong hệ thống phân cấp thời gian không xác định?

Định lý phân cấp thời gian không phá hủy ban đầu là do Cook (liên kết là S. Cook, Một hệ thống phân cấp cho độ phức tạp thời gian không xác định , JCSS 7 343 Nott353, 1973). Các trạng thái lý rằng đối với bất kỳ số thực và r 2 , nếu 1 ≤ r 1 < r 2 sau đó NTIME ( n r 1 ) được chứa trong Nghiêm NTIME ( n r 2 ).$r_1$$r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

Một phần quan trọng của bằng chứng sử dụng đường chéo (không xác định) để xây dựng một ngôn ngữ tách biệt với các thành phần của lớp nhỏ hơn. Đây không chỉ là một đối số không mang tính xây dựng, mà các ngôn ngữ thu được bằng cách chéo thường không cung cấp cái nhìn sâu sắc nào ngoài chính sự phân tách.

Nếu chúng ta muốn hiểu cấu trúc của hệ thống phân cấp NTIME, câu hỏi sau đây có lẽ cần phải được trả lời:

Có một ngôn ngữ tự nhiên trong NTIME ( ) nhưng không có trong NTIME ( n k )?$n^{k+1}$$n^k$

Một ứng cử viên có thể là SAT-ISOLATED SAT , yêu cầu tìm giải pháp cho công thức CNF mà không có giải pháp nào khác trong khoảng cách Hamming k. Tuy nhiên, việc chứng minh giới hạn dưới dường như là khó khăn, như thường lệ. Rõ ràng là việc kiểm tra một quả bóng Hamming không có giải pháp tiềm năng "nên" yêu cầu các bài tập khác nhau để được kiểm tra, nhưng điều này không có nghĩa là dễ chứng minh . (Lưu ý: Ryan Williams chỉ ra giới hạn dưới này cho k -ISOLATED SAT thực sự sẽ chứng minh P ≠ NP, vì vậy vấn đề này dường như không phải là ứng cử viên phù hợp.)$\Omega(n^k)$$k$

Lưu ý rằng định lý giữ vô điều kiện, bất kể các phân tách chưa được chứng minh như P so với NP. Do đó, một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này sẽ không giải quyết được P so với NP, trừ khi nó có các thuộc tính bổ sung như -ISOLATED SAT ở trên. $k$ Một sự phân tách tự nhiên của NTIME có lẽ sẽ giúp làm sáng tỏ một phần hành vi "khó khăn" của NP, phần xuất phát từ khó khăn của nó từ một chuỗi độ cứng tăng dần vô hạn.

Vì giới hạn thấp là khó, tôi sẽ chấp nhận như một câu trả lời ngôn ngữ tự nhiên mà chúng ta có thể có lý do chính đáng để tin vào giới hạn thấp hơn, mặc dù có thể chưa có bằng chứng. Ví dụ, nếu câu hỏi này đã về dtime, sau đó tôi sẽ phải chấp nhận -CLIQUE, cho một tổ chức phi giảm chức năng f ( x ) ∈ q ( x ) , như một ngôn ngữ tự nhiên mà có thể cung cấp sự phân ly cần thiết, dựa trên giới hạn dưới của Razborov và Rossman và n 1 - ϵ -inappro xấp xỉ của CLIQUE.$f(k)$$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(Đã chỉnh sửa để giải quyết nhận xét của Kaveh và câu trả lời của Ryan.)

Theo như tôi biết, chúng ta không biết những ngôn ngữ như vậy, hoặc nếu chúng ta làm, có tranh cãi đáng kể về "tính tự nhiên" của chúng. Tôi biết đây không thực sự là một câu trả lời thỏa mãn, nhưng tôi có thể nói:

$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

Dưới đây là bằng chứng của phần (a). Đặt ISOLATED SAT là phiên bản của vấn đề với được đưa ra như một phần của đầu vào (nói chung, nói chung). Giả sử chúng tôi chứng minh rằng SAT ISOLATED yêu cầu thời gian cho tất cả . Nếu , thì ở đối với một số cố định (bằng chứng sử dụng phiên bản hiệu quả của định lý Cook: nếu có thuật toán SAT chạy trong thời gian , thì bất kỳ đủ). Nhưng chúng tôi đã chứng minh rằng có một ngôn ngữ trong có nghĩa là không ở cho mỗi$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$. Đây là một mâu thuẫn, vì vậy .$P \neq NP$

Dưới đây là bằng chứng của phần (b). Nếu mọi có thể được giảm một cách hiệu quả thành công thức SAT k-ISOLATED (ví dụ: tất cả các trường hợp bit của được giảm xuống thành công thức SAT -ISOLATED của hầu hết kích thước) sau đó . Điều này ngay lập tức ngụ ý , nhưng hơn nữa có vẻ như rất khó có thể tất cả có thể được mô phỏng rất hiệu quả trong hệ thống phân cấp đa thức.$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$