Mức độ tối thiểu của biểu đồ cây

Cho đồ thị , xác định đồ thị cây là đồ thị có các đỉnh là các cây bao trùm của và có một cạnh giữa hai cây nếu có thể lấy được một cây khác bằng cách thay thế một cạnh. Đó là có một cạnh nếu tồn tại hai cạnh sao cho . $G$ $T(G)$ $G$ $(T_1, T_2)$ $x, y \in G$ $T_1 - x = T_2 - y$

Câu hỏi của tôi là: có một số giới hạn dưới hoặc trên không tầm thường về mức độ của đỉnh với mức độ tối thiểu trong ? $T(G)$

Lưu ý: Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi (dòng cuối cùng) một chút để làm cho nó ít mơ hồ hơn.

graph-theory tree

— corwin
nguồn

Định nghĩa của bạn về một cạnh không có ý nghĩa. Bạn có nghĩa là "có một cạnh giữa

và

nếu có tồn tại hai cạnh

sao cho

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

x, y \in G

$x, y \in G$

T_{1} - x + y = T_{2}

$T_1 - x + y = T_2$

— Tyson Williams

Vâng, xin lỗi tôi có nghĩa là các cạnh.

— corwin

Nếu

là một cây, cây đồ thị của nó

là một đỉnh duy nhất với độ 0. Mặt khác, nếu

là một đồ thị hoàn chỉnh, mỗi đỉnh trong

có độ

. Chính xác thì bạn có ý gì bởi "không tầm thường"?

G

$G$

T (G)

$T(G)$

G

$G$

T (G)

$T(G)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Jeffε

nó cũng rõ ràng lớn hơn khả năng kết nối của

trừ 1. Đây có phải là tầm thường không? Bạn nên mở rộng câu hỏi của mình với những gì bạn biết về vấn đề đã có, để chúng tôi có thể đánh giá những gì bạn cho là tầm thường và những gì bạn không.

G

$G$

— Artem Kaznatcheev

@Jeffe Tôi không nghĩ

cho một đồ thị đầy đủ là đúng. Lấy ví dụ một cây là một dòng. Loại bỏ một cạnh từ cây sẽ ngắt kết nối cây thành hai nhóm

và

. Bây giờ có

các cạnh có thể được thêm vào để làm cho nó một cây một lần nữa. Tiếp quản tất cả các cạnh của cây mà chúng ta thấy rằng có

lân cận cây.

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

S

$S$

T

$T$

| S | \cdot | T |

$|S|\cdot|T|$

Θ (n^{3})

$\Theta(n^3)$

— corwin

Nếu có đỉnh và cạnh, thì đối với bất kỳ cây bao trùm của , mỗi cạnh không nằm trong có thể được hoán đổi với bất kỳ cạnh nào trên đường dẫn trong giữa các điểm cuối của cạnh cây không. Giả sử không phải là một chữ số, điều này mang lại ít nhất các giao dịch hoán đổi khác nhau; nghĩa là, mọi đều có ít nhất $G$ $n$ $m$ $T$ $G$ $m-n+1$ $T$ $T$ $G$ $2(m-n+1)$ $T$ . $2(m-n+1)$

Giới hạn này là chặt chẽ: nếu có đỉnh liền kề với tất cả các đỉnh khác và là cây bao gồm tất cả các cạnh xảy ra với , thì đường dẫn trong giữa các điểm cuối của mọi cạnh không có cây có độ dài chính xác bằng hai , do đó, mỗi cạnh không có cây tham gia vào chính xác hai lần hoán đổi và có độ chính xác là . $G$ $v$ $T$ $v$ $T$ $T$ $T$ $2(m-n+1)$

Mặt khác, nếu có chu vi (độ dài chu kỳ ngắn nhất) , thì đường dẫn trong bất kỳ cây giữa các điểm cuối của bất kỳ cạnh phi cây nào, cùng với cạnh đó, tạo thành một chu kỳ phải có độ dài ít nhất là , do đó, mức độ tối thiểu trong biểu đồ cây phải tối thiểu . Giới hạn này chặt chẽ đối với một số đồ thị như đồ thị chu kỳ và đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh và đồ thị Moore, vì các đồ thị này chứa các cây bao trùm mà tất cả các cạnh không có cây tạo ra các chu kỳ có độ dài bằng chu vi. $G$ $g$ $T$ $g$ $(g-1)(m-n+1)$

Tuy nhiên, việc tìm mức độ tối thiểu của biểu đồ cây cho một biểu đồ được cung cấp tùy ý (tương đương, tìm một cây bao trùm tối thiểu hóa tổng độ dài của các chu kỳ gây ra bởi các cạnh không phải của cây) là hoàn chỉnh NP: xem Deo, Mitchhu và KRnamoorthy, "Thuật toán tạo chu kỳ cơ bản trong đồ thị", ACM TOMS 1982 . Vì vậy, việc tìm kiếm các giới hạn như các giới hạn chặt chẽ cho tất cả các biểu đồ dường như là không thể.

— David Eppstein
nguồn

Cảm ơn câu trả lời tuyệt vời. Chúng ta có thể tìm thấy một giới hạn trên chặt chẽ là chính xác cho tất cả các đồ thị không?

— corwin

Ngoài ra, có một giới hạn trên đã biết trên đường kính của đồ thị được kết nối với

đỉnh và

cạnh không?

n

$n$

m

$m$

— corwin