Khi nào một tài sản FO giết chết độ cứng NL?

Bối cảnh: Chúng tôi chỉ xem xét sơ đồ. Đặt CYCLE là ngôn ngữ của đồ thị với một chu kỳ; nó là một vấn đề hoàn chỉnh NL. Đặt HASEDGE là ngôn ngữ của đồ thị có ít nhất một cạnh. Sau đó trivially, $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ không còn NL-cứng, trong khi $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$ ở lại lâu hơn.

Vấn đề thực tế: Tôi đang tự hỏi nếu ngôn ngữ

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$ là vẫn NL-cứng.

Câu hỏi: Đối với công thức mà FO $\phi$ trên vốn từ vựng của đồ thị là

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$ NL-cứng? Là tài sản này có thể quyết định?

Cảm ơn vì đầu vào của bạn!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
nguồn

Câu trả lời:

Hãy để tôi gọi tài sản trong "Vấn đề thực tế" . Ánh xạ sau đây giảm thành : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Đối với một cho , thay thế tất cả các đỉnh trong bởi hai bản và , và nếu có một cạnh trong , chúng ta hãy có cạnh và $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ . Do đó với mọi , đồ thị thỏa mãn . $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

Hơn nữa, có một chu kỳ khi và chỉ khi có một chu kỳ, do đó thỏa mãn iff satifies . Do đó là NL-cứng. $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

Tôi nghĩ rằng một công trình tương tự sẽ làm việc cho mọi tài sản hoàn toàn phổ biến.

— Jan Johannsen
nguồn

Cảm ơn bạn đã làm việc Jan! Nhưng tôi không chắc bạn đã giải quyết vấn đề hoàn toàn, vì nếu cấu trúc NODIAG xuất hiện trong G, nó vẫn xuất hiện ở cuối công trình của bạn, AFAIU.

— Michaël Cadilhac

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Jan, tôi vô cùng xin lỗi, tôi đã nhầm lẫn với từ ngữ của câu hỏi của tôi; biểu đồ con được mô tả là được coi là một biểu đồ ĐỘC QUYỀN. Lưu ý rằng với cách diễn đạt trước đó, bạn chỉ cần thêm bốn nút mới và các cạnh , và để biểu đồ không nằm ngoài NODIAG. Một lần nữa, tôi rất xin lỗi vì lỗi chính tả.

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Michaël Cadilhac

(PS: Như tôi nợ bạn để làm việc trên một câu hỏi misworded, đây là một bài báo TCS với một tiêu đề tốt đẹp mà không xuất hiện trong danh sách của bạn: Diamonds are Forever (The Variety DA) bởi Tesson và Therien.)

— Michaël Cadilhac

Trong trường hợp đó, làm thế nào về việc chỉ cần thêm một đỉnh mới ở mọi cạnh: trong thay thế mọi bằng và . Đồ thị kết quả là chu kỳ iff là và không có cấu trúc loại trừ. BTW Tôi không duy trì danh sách đó nữa.

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen

Vấn đề thực tế là ở FO. Kiểm tra xem có tồn tại sao cho và rõ ràng là trong FO. $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

Giả sử rằng không có , thì thừa nhận một chu kỳ có hướng khi và chỉ khi thừa nhận một chu kỳ có hướng có độ dài hai. Điều này có thể được suy ra từ thực tế là với bất kỳ hai đỉnh và của , các vùng lân cận và chúng đều sao cho hoặc . $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

Do đó, đủ để kiểm tra xem có tồn tại sao cho , trong FO. $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

Vì vậy, nằm trong khi và chỉ khi $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— Adrien
nguồn

Cảm ơn bạn. Bạn có quan tâm đến việc thêm một đối số về lý do tại sao các vùng lân cận của bất kỳ hai nút nào có thể so sánh được không? Tôi sẽ đợi một chút để xem có ai giải quyết được vấn đề hoàn chỉnh không, và nếu không có ai xuất hiện, tôi sẽ đi tìm câu trả lời của bạn.

— Michaël Cadilhac

Tôi không nghĩ rằng sự so sánh của các khu vực lân cận thực sự giữ vững. Lấy ví dụ đồ thị chỉ có bốn đỉnh với các cạnh và . Biểu đồ này thỏa mãn công thức của Michael, nhưng không thể so sánh được với .

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Jan Johannsen

@Jan: Nếu tôi không nhầm, quan điểm của Adrien là nếu đồ thị <i> không </ i> thỏa mãn phần thứ hai, thì nếu nó có chu kỳ thì nó có chu kỳ dài 2. Vậy điểm của anh ấy là rằng nếu đồ thị <i> không </ i> thỏa mãn phần thứ hai, thì khả năng so sánh được giữ.

— Michaël Cadilhac