Tính không tương thích của bìa tập hợp: tôi có thể giả sử m = poly (n) không?

Tôi đang cố gắng chỉ ra rằng một vấn đề nào đó không thể giải thích được bằng cách giảm từ trang bìa. Việc giảm của tôi biến đổi một thể hiện với tập hợp kích thước và đặt thành một thể hiện của vấn đề của tôi trong đó một tham số nhất định có kích thước . Sau đó tôi có thể chỉ ra rằng một thể hiện của bìa tập hợp trong đó kích thước bìa là s tương ứng với một thể hiện của vấn đề của tôi trong đó kích thước của giải pháp tối ưu là (hoặc đại loại như thế này) và ngược lại. Tôi muốn gọi Raz-Safra để kết luận rằng vấn đề của tôi không thể gần đúng với hệ số , đối với một số hằng số . Điều này sẽ hoạt động tốt nếu tôi có thể giả sử rằng $n$ $m$ $r$ $O(n+m)$ $2s$ $c \log{r}$ $c$ $m$ được giới hạn bởi một đa thức cố định của . Có ai biết nếu nó là kosher để giả định điều này? Điều này chắc chắn đúng với gia đình của các trường hợp được sử dụng trong chứng minh độ cứng NP tiêu chuẩn cho vỏ bọc, nhưng tôi không chắc liệu đây có phải là trường hợp giảm loại PCP được Raz và Safra sử dụng hay không. $n$

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Edith Elkind
nguồn

Có, số lượng tập hợp m trong một thể hiện bao trùm là đa thức về số lượng phần tử.

Nhân tiện - trạng thái của kết quả độ cứng nghệ thuật cho Set-Cover là:

Với Noga Alon và Muli Safra, chúng tôi đã chỉ ra cách sử dụng PCP Raz-Safra / Arora-Sudan để có được hằng số tốt hơn $c$ trong hệ số độ cứng $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/auge/k-restrictions/k-rest-full.ps
$(1-\epsilon)\ln n$ $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

http://www.cs.duke.edu/cifts/spring07/cps296.2/ con / p634-fakeige.pdf
Gần đây tôi đã xuất bản một lưu ý về cách điều chỉnh giảm Feige thành kết quả độ cứng NP (nghĩa là kết quả dựa trên ), giả sử một phỏng đoán hợp lý về các PCP (Một phỏng đoán mà tôi gọi là "Phỏng đoán trò chơi dự đoán" - một chuyên ngành của "Phỏng đoán tỷ lệ trượt" năm 1993 đối với các trò chơi trình chiếu). $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (Sau đó tôi phát hiện ra rằng việc giảm giá mang lại sự đánh đổi tối ưu giữa và giảm nổ). $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
nguồn

Giả định phân tách yếu nhất vẫn sẽ mang lại độ cứng ?

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$

— Suresh Venkat

Dana, cảm ơn câu trả lời của bạn! Một câu hỏi tiếp theo, nếu bạn không phiền: đây có phải là một câu hỏi "ngu ngốc" không, có nghĩa là có bất kỳ cân nhắc cấp cao nào ngụ ý m = poly (n) hay đó là trường hợp mà người ta thực sự phải biết Bằng chứng độ cứng Raz-Safra để trả lời câu hỏi của tôi?

— Edith Elkind

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$

@lostinjungle: Nếu m không phải là đa thức trong n, bạn không thể coi việc giảm là "giảm đa thời gian". Lý do cụ thể mà một Raz-Safra / Arora-Sudan mang lại m = poly (n) là có một tập hợp cho một biến / ràng buộc + của PCP và gán cho chúng, và số lượng biến và ràng buộc, cũng như kích thước của bảng chữ cái là đa thức và số lượng truy vấn không đổi.

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: Cảm ơn! Tôi không chắc chắn tôi hiểu yêu cầu đầu tiên của bạn, mặc dù. Có gì sai với việc giảm (giả thuyết) sau: Tôi bắt đầu với một thể hiện của (ví dụ) Vertex Cover với

đỉnh và tạo một thể hiện của Set Cover với

bộ và bộ mặt đất có kích thước

, trong đó

là giải pháp cho

? Điều này chắc chắn hoạt động trong nhiều thời gian. Phải thừa nhận rằng, tôi chưa bao giờ thấy mức giảm như thế này, nhưng dường như không thể. Hoặc là tôi sai? Tất nhiên, câu hỏi ban đầu của tôi đã được trả lời, vì vậy hãy bỏ qua câu hỏi này. Tôi chỉ tò mò ...

k

$k$

m = k^{3}

$m = k^3$

n

$n$

n

$n$

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$

— Edith Elkind