Nhân các ma trận tuần hoàn với ma trận đường chéo

Để cho $A_{i}$, $B_{i}$là một chuỗi các ma trận tuần hoàn có kích thước$n \times n$.

Chúng ta biết rằng $\sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$ có thể được tính theo thời gian bậc hai (sử dụng FFT để chéo và thêm ma trận đường chéo và áp dụng IFFT).

Giả sử $D$ là một ma trận đường chéo tùy ý (để đơn giản, hãy để $r$ là $n$gốc rễ của sự thống nhất và xem xét các yếu tố đường chéo vì tất cả các sức mạnh riêng biệt ít hơn $n$ của $r$).

Sự phức tạp của $\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$? Tôi nghi ngờ nó là bậc hai vì tôi bao gồm cùng một ma trận đường chéo ($O(n)$ điều khoản) trong mỗi nhiệm kỳ.

Xem xét $R$một ma trận tuần hoàn có kích thước$n \times n$ với hàng đầu tiên được làm bằng sức mạnh riêng biệt ít hơn $n$ của $r$. Để cho$X_{i}$ và $Y_{i}$ cho $i=1\rightarrow n$ được ma trận đường chéo đầy đủ xếp hạng.

Sự phức tạp của $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$? Một lần nữa tôi nghi ngờ đây là bậc hai.

Ma trận $D$ và $R$ được định nghĩa liên quan đến $r$là nhân tạo. Tôi đang tìm kiếm trường hợp đường chéo chung$D$và tuần hoàn toàn hạng $R$.

Vấn đề này về cơ bản là tương đương với nhân ma trận. Chúng ta hãy nhìn vào$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$ đầu tiên, ở đâu $X_i$ và $Y_i$là các ma trận đường chéo. Nếu$A$ là ma trận với các mục chéo của $X_i$ như $i$-thth cột, và $B$ là ma trận với các đường chéo của $Y_i$ như $i$-tháng hàng, sau đó là sản phẩm nhập cảnh của $AB$ và $R$ bằng $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$. Nếu tất cả các mục của$R$ là khác không (ngay cả khi nó không phải là thứ hạng đầy đủ), sau đó $AB$ có thể được xây dựng lại từ $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$. Do đó độ phức tạp tính toán của bài toán này giống hệt với độ phức tạp tính toán của phép nhân ma trận.

Đối với trường hợp $\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$, Ở đâu $A_i$ và $B_i$ là ma trận tuần hoàn, trước tiên chúng ta phải áp dụng FFT cho $A_i$, $B_i$ và $D$, để trở lại vụ án $\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$. Chúng tôi cần$2n+1$ FFT kích thước $n$ cho điều này, vì vậy điều này thêm $n^2\log n$đến mức phức tạp.
Cũng trong trường hợp này, FFT của$D$chỉ có rất ít mục khác không. Trong trường hợp đặc biệt này, độ phức tạp sẽ gấp bốn lần số lượng mục nhập khác không. Điều này có thể xảy ra, nếu mục thứ i trên đường chéo của$D$ Là $r^i$, Ở đâu $r$ là $n$gốc rễ của sự thống nhất. Nhưng đã khi$D$ có cùng mục nhưng được hoán vị tùy ý, FFT của $D$ sẽ không thưa thớt (nói chung).