Chứng minh lượng tử của định lý cổ điển

Tôi quan tâm đến các ví dụ về các vấn đề trong đó một định lý dường như không liên quan gì đến cơ học / thông tin lượng tử (ví dụ: nêu một cái gì đó về các vật thể thuần túy cổ điển) tuy nhiên có thể được chứng minh bằng các công cụ lượng tử. Một cuộc khảo sát Bằng chứng lượng tử cho các định lý cổ điển (A. Drucker, R. Wolf) đưa ra một danh sách tốt đẹp về các vấn đề như vậy, nhưng chắc chắn còn nhiều vấn đề khác nữa.

Đặc biệt thú vị sẽ là những ví dụ trong đó không chỉ có thể chứng minh lượng tử mà còn "chiếu sáng nhiều hơn", tương tự như phân tích thực và phức tạp, trong đó việc đặt một vấn đề thực trong bối cảnh phức tạp thường làm cho nó tự nhiên hơn (ví dụ hình học đơn giản hơn vì được đóng theo đại số, v.v.); nói cách khác, các vấn đề cổ điển mà thế giới lượng tử là "môi trường sống tự nhiên" của chúng.$\mathbb{C}$

(Tôi không định nghĩa "lượng tử" ở đây theo bất kỳ ý nghĩa chính xác nào và người ta có thể lập luận rằng tất cả các đối số như vậy cuối cùng sẽ chuyển sang đại số tuyến tính; tốt, người ta cũng có thể dịch bất kỳ đối số nào bằng cách sử dụng các số phức để chỉ sử dụng các cặp số thực - nhưng vậy thì sao ?)

Có một bài báo gần đây của Scott Aaronson cung cấp một bằng chứng mới cho thấy vĩnh viễn là # P-hard. Bằng chứng này dựa trên mô hình điện toán lượng tử quang-tuyến tính và trực quan hơn so với mô hình của Leslie Valiant.

Theo tôi, tôi thích bài báo sau:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha. Kiểm tra hiệu quả các nhóm. Trong STOC'05.

Ở đây họ định nghĩa một người thử nghiệm "cổ điển" cho các nhóm abelian. Tuy nhiên, đầu tiên họ bắt đầu bằng cách đưa ra một máy kiểm tra lượng tử, và sau đó họ tiếp tục bằng cách loại bỏ tất cả các phần lượng tử.

Điều tôi thích ở bài viết này là họ sử dụng máy kiểm tra lượng tử để có được trực giác và sử dụng nó để tiếp cận vấn đề. Có thể nghe có vẻ là một cách tiếp cận khó khăn hơn (bắt đầu từ lượng tử và cổ điển), nhưng các tác giả là những nhà nghiên cứu nổi tiếng về điện toán lượng tử. Vì vậy, có lẽ đối với họ dễ dàng hơn để bắt đầu với điều đó.

Tôi muốn nói rằng đóng góp kỹ thuật chính của họ là một thử nghiệm cho sự đồng hình, mà họ sử dụng để loại bỏ các phần lượng tử.

Hai kết quả rất gần đây và thú vị:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary và Ronald de Wolf đã chứng minh rằng "không tồn tại chương trình tuyến tính kích thước đa thức (LP) mà các dự án đa giác liên quan đến polytope của nhân viên bán hàng du lịch, ngay cả khi LP không bắt buộc phải đối xứng "(Trích từ bản tóm tắt).
  Họ sử dụng sự phức tạp trong giao tiếp lượng tử như một công cụ. Xem bài viết của họ và bài viết trên blog của Gil Kalai . Cũng lưu ý nhận xét của Dave dưới bài viết của Gil Kalai. Tôi chưa đọc bài báo này, vì vậy tôi không thể tự nhận xét về việc sử dụng công cụ lượng tử ở đâu và như thế nào.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel và Robin Kothari đã sử dụng độ phức tạp truy vấn lượng tử để chứng minh giới hạn thấp hơn cho một biện pháp rất cổ điển, đó là số cổng công thức của các hàm như PARITY. Xem giấy của họ .

Khi các nhân tố đưa ra biên độ xác suất của kết quả đo của boson sau khi chúng can thiệp vào giao thoa kế tuyến tính, Scheel đã thu được một bằng chứng "lượng tử" đơn giản rằng giá trị tuyệt đối của vĩnh viễn của bất kỳ ma trận đơn vị nào là 1 ( http://arxiv.org/abs / định lượng-ph / 0406127 ).

• xem thêm điện toán cổ điển bao hàm các ý tưởng lượng tử một loại tổng quan / khảo sát bán khoa học về hiện tượng phân đôi cổ điển / lượng tử này do Wolchover viết cho viện Simons với một số ví dụ & dẫn / refs.

Trong những năm gần đây, các ý tưởng lượng tử đã giúp các nhà nghiên cứu chứng minh tính bảo mật của các chương trình mã hóa dữ liệu đầy hứa hẹn được gọi là hệ thống mật mã dựa trên mạng tinh thể, một số ứng dụng có thể che giấu thông tin nhạy cảm của người dùng, như DNA, thậm chí từ các công ty xử lý nó. Một bằng chứng điện toán lượng tử cũng dẫn đến một công thức về độ dài tối thiểu của các mã sửa lỗi, đó là các biện pháp bảo vệ chống tham nhũng dữ liệu.

Các ý tưởng lượng tử cũng đã truyền cảm hứng cho một số kết quả lý thuyết quan trọng, chẳng hạn như từ chối một thuật toán cũ, sai lầm, tuyên bố giải quyết hiệu quả vấn đề nhân viên bán hàng du lịch khó khăn nổi tiếng, hỏi cách tìm ra con đường nhanh nhất qua nhiều thành phố.

• một ví dụ khác gần đây tương tự như hướng nghiên cứu của Bằng chứng tự nhiên Razborov / Rudich (liên quan đến sự phân tách lớp phức tạp để phá vỡ các bộ tạo số ngẫu nhiên)

Một lượng tử giới hạn dưới để phân biệt các hàm ngẫu nhiên với hoán vị ngẫu nhiên Henry Yuen

Vấn đề phân biệt giữa hàm ngẫu nhiên và hoán vị ngẫu nhiên trên miền có kích thước N rất quan trọng trong mật mã lý thuyết, trong đó tính bảo mật của nhiều nguyên thủy phụ thuộc vào độ cứng của vấn đề. Chúng tôi nghiên cứu sự phức tạp truy vấn lượng tử của vấn đề này ...