Những vấn đề

Bức tranh nổi tiếng về thế giới của Neil Immerman là như sau (bấm vào để phóng to):

Lớp "Thực sự khả thi" của anh không bao gồm lớp nào khác; Câu hỏi của tôi là:

Vấn đề AC ⁰ được coi là không thực tế là gì và tại sao?

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Michaël Cadilhac
nguồn

Có lẽ một vấn đề đòi hỏi các mạch có độ sâu 10 ^ {10 ^ 100}?

— Tsuyoshi Ito

@Ross: Tôi không nghĩ như vậy bởi vì anh ấy đã không đề cập đến thế giới thực của thế giới và anh ấy đã hỏi về lý do tại sao Tôi nghĩ rằng bình luận trước đây của tôi trả lời ít nhất là phần Tại sao lại là một phần. Tuy nhiên, phải thừa nhận rằng tôi không có ví dụ về các vấn đề về tự nhiên, trong AC0 và yêu cầu các mạch có độ sâu 10 ^ {10 ^ 100}.

— Tsuyoshi Ito

Có rất nhiều vấn đề trong thế giới thực thú vị có thể được giải quyết trong thời gian liên tục và không gian liên tục (trong hầu hết mọi mô hình tính toán), nhưng mọi người giờ đã có ý tưởng làm thế nào để giải quyết chúng trong thực tế. Ví dụ cực đoan là tính toán các hằng số nhất định; chúng tôi có thể mã hóa câu trả lời đúng (ví dụ: 0 hoặc 1), nhưng chúng tôi chưa biết câu trả lời.

— Jukka Suomela

Jukka: đó là những trường hợp vấn đề. Các phương trình diophantine (như của Fermat) là không thể giải quyết được như một lớp, ngay cả khi các trường hợp riêng lẻ mà chúng ta đã quyết định thực sự có mạch độ sâu không đổi.

— András Salamon

@ András: Nếu bạn thích các vấn đề quyết định với vô số trường hợp "có" và "không": Đặt

bao gồm tất cả các số chẵn và

, trong đó

nếu người chơi trắng có chiến lược chiến thắng trong cờ vua và nếu không thì

. Một cách tầm thường, tồn tại một nhóm các mạch rất đơn giản quyết định

, nhưng tôi vẫn cho rằng nó "không thực tế". Không phải vì mạch sẽ rất lớn, mà bởi vì thiết kế mạch sẽ là một nỗ lực tính toán khổng lồ ... Gian lận? -)

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$

x = 3

$x = 3$

L

$L$

— Jukka Suomela

Câu trả lời:

Nếu bạn muốn có một ví dụ về hàm AC ⁰ yêu cầu độ sâu và không thể được tính bằng các mạch AC ⁰ có độ sâu , thì hãy thử các hàm Sipser . Siêu ký tự là độ sâu cần thiết cho mạch AC ⁰ có kích thước đa thức . Với độ sâu , mạch sẽ cần nhiều cổng theo cấp số nhân. $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ $d$ $d-1$

Vì vậy, tính toán cho sẽ không "thực sự khả thi". $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$

EDIT: Câu hỏi của bạn cũng hỏi tại sao điều này sẽ không khả thi. Tôi đoán lý do là nhiều hơn số lượng nguyên tử trong vũ trụ hữu hình. $10^{10^{100}}$

— Robin Kothari
nguồn

Thật tuyệt vời, cảm ơn bạn! Có lẽ bạn có thể thêm một định nghĩa không chính thức về các chức năng Sipser? Tôi không biết về cái tên đó.

— Michaël Cadilhac

@ Michaël: Thật không may, tôi không có định nghĩa trực quan tốt cho các chức năng Sipser. Ý tưởng là tạo ra một hàm của các bộ định lượng d sao cho không có mạch độ sâu d-1 nào có thể tính được nó. Vì vậy, chúng tôi muốn các bộ định lượng d định lượng qua một số lượng lớn các biến. Có một bài viết tốt đẹp bởi Iddo Tzameret, có tựa đề "Tách mạch Constant-Depth Sử dụng chức năng Sipser Håstad của" ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) xác định các chức năng chính thức trên trang 7.

— Robin Kothari

Tất cả hệ thống phân cấp này có chủ ý mạnh mẽ dưới sự thay đổi đa thức của kích thước đầu vào. Do đó, bất kỳ lớp nào trong nó cũng có thể chứa các hàm có độ phức tạp là n ^ {1000000000} về mặt lý thuyết là "khả thi" nhưng chắc chắn không thực tế như vậy. Những điều này, tuy nhiên rất có thể sẽ là những vấn đề rất giả tạo. Cụ thể bằng một đối số đếm tồn tại một họ công thức DNF (= AC ^ 0 độ sâu 2 mạch) có kích thước n ^ 1000000 mà không có thuật toán nào có thời gian chạy nhỏ hơn n ^ 999999 có thể tính toán. (Trong một thiết lập thống nhất, chúng tôi mong đợi một cái gì đó tương tự nhưng không thể chứng minh điều đó.)

— Buổi sáng
nguồn

Vấn đề tạm dừng khi đầu vào được thể hiện bằng unary là trong AC ^ 0 và khá khó khả thi trong thực tế. Tôi không chắc đây là ý của bạn, nhưng nó có thể là ý nghĩa của Immerman.

— Yêu tinh
nguồn

Tôi đoán các lớp trong sơ đồ được xác định với một số khái niệm về tính đồng nhất? Mặt khác, hướng lên sẽ không đại diện cho ngăn chặn, vì P không chứa AC ^ 0 không đồng nhất.

— Robin Kothari

A C^{0}

$AC^0$

{0, 1}

$\{0,1\}$

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$

X

$X$

Điểm cũng được thực hiện. Thay vào đó, theo Erdos, người ta có thể đề xuất vấn đề là với bất kỳ đầu vào nào, hãy xuất số Ramsey cho sáu màu đỏ và sáu màu xanh.

— Elad