Hàm không xây dựng và kết quả dị thường

Trong cuốn sách Arora-Barak, trong định nghĩa về các hàm xây dựng thời gian, người ta nói rằng việc sử dụng các hàm không có thời gian xây dựng có thể dẫn đến "kết quả dị thường". Có ai có một ví dụ về một "kết quả bất thường" như vậy không? Tôi đã nghe nói cụ thể rằng có thể tồn tại các hàm sao cho định lý phân cấp thời gian không giữ, có ai có ví dụ về các hàm đó không? Có một cái gì đó về điều này ở đâu đó trong rác?

Định lý khoảng cách của Borodin : Với mỗi hàm tính toán tổng , có tổng hàm tính toán sao cho .t D T I M E [ g ( t ( n ) ) ] = D T I M E [ t ( n ) $g(n) \geq n$$t$$DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$

Trong thực tế, điều này đúng với mọi biện pháp phức tạp Blum thay cho .$DTIME$

Xem thêm trang wikipedia và tài liệu tham khảo trong đó.

Vì bài viết Wikipedia không đưa ra bằng chứng và bài báo viết về ACM DL, tôi nghĩ rằng có thể hữu ích khi đăng bằng chứng ở đây:

Định lý 3.7. (Định lý khoảng cách).

Đặt là một số đo phức tạp, là hàm đệ quy không tăng sao cho . Sau đó, có tồn tại một hàm đệ quy tăng mà các chức năng tính toán đo lường phức tạp cũng giống như chức năng tính toán đo lường phức tạp .g ∀ x , g ( x ) ≥ x t t g ∘ $\Phi$$g$$\forall x, g(x) \geq x$$t$$t$$g\circ t$

BẰNG CHỨNG.

Xác định như sau:$t$

t ( n ) : = μ k > t ( n - 1 ) : ∀ i ≤ n , ( Φ i ( n ) < k ∨ Φ i ( n ) > g ( k )

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. với tất cả , có một , vì với tất cả :k i ≤ $n$$k$$i \leq n$

   a. nếu không được xác định thì và$\Phi_i(n)$$\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$

   b. nếu được xác định thì .$\Phi_i(n)$$\exists k, \Phi_i(n) < k$

2. $k$ có thể được tìm thấy đệ quy, vì là thước đo độ phức tạp và do đó và là các biến vị ngữ đệ quy.$\Phi$$\Phi_i(n) <k$$\Phi_i(n) > g(k)$

3. $t$ thỏa mãn định lý, vì ngụ ý rằng hoặc .$n \geq i$$\Phi_i(n) < t(n)$$\Phi_i(n) > g \circ t(n)$

QED.

Chúng tôi quan sát rằng một lớn tùy ý có thể được tìm thấy để đáp ứng Định lý 3.7. Giả sử chúng ta muốn , sau đó xác định$t$$t(n) > r(n)$

t ( n ) : = μ k > m một x { t ( n - 1 ) , r ( n ) } :

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(từ Allan Borodin, " Độ phức tạp tính toán và sự tồn tại của những khoảng trống phức tạp ", JACM 1972, với những sửa đổi nhỏ.)