Câu hỏi kỹ thuật về đi bộ ngẫu nhiên

(Câu hỏi ban đầu của tôi vẫn chưa được trả lời. Tôi đã thêm làm rõ thêm.)

Khi phân tích các bước đi ngẫu nhiên (trên các đồ thị vô hướng) bằng cách xem bước đi ngẫu nhiên dưới dạng chuỗi Markov, chúng tôi yêu cầu đồ thị không phải là lưỡng cực để áp dụng định lý cơ bản của chuỗi Markov.

Điều gì xảy ra nếu đồ thị thay vì lưỡng cực? Tôi đang quan tâm đặc biệt trong thời gian hit h i , j , nơi có một cạnh giữa i và j trong G . Nói đồ thị lưỡng cực G có m cạnh. Chúng ta có thể thêm một tự vòng lặp để một đỉnh tùy ý trong đồ thị để làm cho kết quả đồ thị G ' phi song phương; áp dụng định lý cơ bản của chuỗi Markov để G ' sau đó chúng tôi nhận được rằng h i , j < 2 m + 1 trong G $G$$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$, Và điều này rõ ràng là cũng là một thượng ràng buộc cho trong G .$h_{i,j}$$G$

Câu hỏi: Có đúng là yêu cầu mạnh hơn giữ trong G không? (Người ta đã thấy điều này được khẳng định trong các phân tích về thuật toán đi bộ ngẫu nhiên cho 2SAT.) Hay chúng ta thực sự phải trải qua bước bổ sung này để thêm vòng lặp tự?$h_{i,j} < 2m$$G$

Câu trả lời này đã chứng minh điều gì đó khác với những gì người hỏi thực sự quan tâm. Để nó ở đây để những người khác sẽ không lặp lại sai lầm tương tự.

Trong hầu hết các trường hợp, người ta có thể chính thức biện minh cho khái niệm trực quan rằng "vòng lặp tự chỉ có thể làm chậm bước đi" bằng một đối số khớp nối. Ví dụ, trong trường hợp này, người ta có thể ghép đôi bước đi với các vòng lặp tự (gọi nó là ) và vòng lặp không có vòng lặp (hãy gọi đó là B ) để A thực hiện các bước tương tự như B , nhưng bị trì hoãn kịp thời. Điều này có thể ví dụ được thực hiện như sau: Giả sử B bắt đầu từ u = x 0 và đi qua x i : i = 1 , 2 , ... , $A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$. Bây giờ, chúng ta thực hiện như sau: A cũng đi qua các đỉnh giống như B , ngoại trừ đỉnh x i , nó chờ thời gian Hình học ( p i ) trong đó p i là xác suất tự lặp tại x i . Lưu ý rằng đây là cách triển khai đúng của A (tất cả các xác suất chuyển tiếp đều đúng) và hình thức khớp nối đảm bảo rằng A không bao giờ đạt tới bất kỳ đỉnh nào trước B , nghĩa là chúng ta đã ghép H A t và H B $A$$A$$B$$x_i$$p_i$$p_i$$x_i$$A$$A$$B$$H_t^A$$H_t^B$ (thời gian đánh ngẫu nhiên trong hai lần đi bộ) sao cho với xác suất 1 . Do đó, sự bất bình đẳng cho thời gian đánh dự kiến ​​sau.$H_t^A \geq H_t^B$$1$

$i$$j$$G$$h(i,j)$$i$$j$$h(i,j) < 2m$

$i$$j$

$i$$j$$C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$$R(i,j)$$i$$j$$1$$i$$j$$h(i,j)<2m$$i$$j$$G$$h(i,j)$$h(j,i)$

$C(i,j) = 2mR(i,j)$$i$$j$

$2m+1$$2m$$j$$i$$G'$$G$$same$$j$$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$

$h_{i,j} < 2m+1$$m$$h_{i,j}$$\Theta(m^2)$

Tái bút: Tôi đã cập nhật câu trả lời trước đó vì dường như nó không giải quyết được mối quan tâm chính của bạn.