Sắp xếp các điểm sao cho khoảng cách Euclide tối thiểu giữa các điểm liên tiếp sẽ được tối đa hóa

Đưa ra một tập hợp các điểm trong không gian Cartesian 3D, tôi đang tìm kiếm một thuật toán sẽ sắp xếp các điểm này, sao cho khoảng cách Euclide tối thiểu giữa hai điểm liên tiếp sẽ được tối đa hóa.

Nó cũng sẽ có lợi nếu thuật toán có xu hướng về khoảng cách Euclide trung bình cao hơn giữa các điểm liên tiếp.

graph-algorithms cg.comp-geom optimization

— Lior Kogan
nguồn

Ngã ba , động lực .

— Jukka Suomela

Âm thanh như phiên bản tối đa hóa TSP cổ chai . Hoặc phiên bản tắc nghẽn của vấn đề đường dẫn dài nhất . Nó có tên không?

— Jukka Suomela

Tôi khuyên bạn nên sử dụng heuristic kon clustering (chiến lược tham lam). mà không nghĩ đến điều này hoàn toàn, có vẻ như nó sẽ mang lại một xấp xỉ 2?

— Suresh Venkat

Thật không may, như đã nêu, Gonzalez sẽ không đưa ra câu trả lời hay (xem xét các điểm (-100,0), (99,0) và (100,0)). Nếu chúng ta bắt đầu ở điểm sai (-100,0) chẳng hạn, chúng ta sẽ nhận được một câu trả lời khủng khiếp. Vẫn có thể chạy gonzalez từ mọi điểm và đưa ra câu trả lời tốt nhất sẽ có hiệu quả.

— Suresh Venkat

Câu trả lời:

ETA: Mọi thứ bên dưới đều nằm trong bài báo " Về TSP phân tán tối đa ", Arkin et al, SODA 1997.

Tôi không biết về câu trả lời chính xác, nhưng đây là một cách tiếp cận khác một chút so với gợi ý của Suresh về phân cụm Gonzalez:

Giả sử cho đơn giản rằng là chẵn. Với mỗi đỉnh , tìm trung vị của khoảng cách . Tạo thành một đồ thị vô hướng trong đó mọi đỉnh được kết nối với các đỉnh khác ít nhất là khoảng cách trung bình. Mức độ tối thiểu trong biểu đồ này ít nhất là , do đó, theo định lý của Dirac, có thể tìm thấy một chu trình Hamilton trong biểu đồ này. $n$ $p$ $n-1$ $d(p,q)$ $p$ $n/2$

Mặt khác, có đỉnh trong đĩa tập trung tại $n/2 + 1$ $p$ với bán kính , quá nhiều để tạo thành một tập độc lập trong chu kỳ, do đó, bất kỳ chu kỳ Hamilton nào cũng phải có cạnh kết nối một số hai trong số các đỉnh này, có chiều dài tối đa . Do đó, chu trình Hamilton được tìm thấy bởi thuật toán này tệ nhất là xấp xỉ 2 xấp xỉ với chu kỳ tối đa tắc nghẽn. $d(p,q)$ $2d(p,q)$

Điều này sẽ hoạt động trong bất kỳ không gian số liệu nào và đưa ra tỷ lệ xấp xỉ tối ưu giữa các thuật toán hoạt động trong bất kỳ không gian số liệu nào. Đối với, nếu bạn có thể xấp xỉ tốt hơn trong phạm vi hai thì bạn có thể giải quyết chính xác các vấn đề về chu trình Hamilton, bằng cách giảm biểu đồ đầu vào cho vấn đề chu trình Hamilton thành không gian số liệu với khoảng cách 2 cho mỗi cạnh đồ thị và khoảng cách 1 cho mọi không -cạnh.

Có lẽ với một số chăm sóc, bạn có thể xoa bóp nó thành một thuật toán gần đúng cho các đường dẫn thay vì các chu kỳ.

— David Eppstein
nguồn

Có bất kỳ lý do để tin rằng không có PTAS trong trường hợp Euclide?

— Jukka Suomela

Không có lý do mà tôi biết. Nhưng các phương pháp PTAS thông thường cho các vấn đề thiết kế mạng Euclide chỉ hoạt động để giảm thiểu, không tối đa hóa.

— David Eppstein

Một ngoại lệ mà tôi biết là bài báo của Chen và Har-Peled trên một PTAS cho Định hướng trong máy bay. Đó là một vấn đề tối đa hóa.

— Chandra Chekuri

Chúng tôi đã tải lên một bản in sẵn để giải quyết câu hỏi này, tức là đưa ra một PTAS cho TSP phân tán tối đa trong trường hợp euclid. arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: Một PTAS cho TSP phân tán tối đa Euclide)

— László Kozma

Chúng tôi đã tải lên một bản in sẵn để giải quyết câu hỏi này, tức là đưa ra một PTAS cho TSP phân tán tối đa trong trường hợp euclid. http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: Một PTAS cho TSP phân tán tối đa Euclide)

— László Kozma
nguồn