Tính toán hằng số Cheeger: khả thi cho các lớp nào?

19

Tính hằng số Cheeger của đồ thị , còn được gọi là hằng số đẳng tích (vì về cơ bản nó là tỷ lệ diện tích / thể tích tối thiểu), được gọi là hoàn thành NP. Nói chung là gần đúng. Tôi quan tâm để tìm hiểu nếu các thuật toán đa thức chính xác được biết đến với các lớp biểu đồ đặc biệt. Ví dụ, nó vẫn hoàn thành NP cho các biểu đồ thông thường ? Đối với đồ thị khoảng cách đều đặn ? (Tôi chưa nghiên cứu các bằng chứng hoàn thiện NP hiện có để kiểm tra các giả định của họ.) Con trỏ văn học đánh giá cao cảm ơn đối với!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Joseph O'Rourke
nguồn

3

đó là một câu hỏi hay Các phép tính gần đúng có liên quan gì đến các phương pháp cắt thưa nhất không?

— Suresh Venkat

1

Tôi biết đây là một câu hỏi cũ, nhưng tôi đã tự hỏi liệu có ai biết về xấp xỉ thời gian đa thức cho các đồ thị tổng quát có được hằng số trong một tỷ lệ cố định không?

— yberman

11

Lưu ý rằng phép cắt gần đúng nhất trong khoảng sẽ cho phép xấp xỉ cho hằng số Cheeger như được định nghĩa. Dưới đây là một số bài báo đưa ra thuật toán xấp xỉ không đổi để cắt giảm ít nhất trong các biểu đồ bị hạn chế: $\alpha$ $2\alpha$

Chi giới hạn: http://dl.acm.org/cites.cfm?id=1873619
Treewidth bị ràng buộc: http://arxiv.org/abs/1006.3970

Hơn nữa, http://arxiv.org/abs/1006.3970v2 chứng minh rằng vết cắt thưa nhất là NP-hard đối với đồ thị có độ rộng đường dẫn 2 và có thêm một vài tham chiếu để cắt gần đúng nhất trong các trường hợp bị hạn chế.

Tôi cho rằng đối với tất cả các loại biểu đồ được đề cập trong bài báo, không có thuật toán chính xác nào được biết đến (vì chúng quan tâm đến các xấp xỉ). Cụ thể, nếu phần cắt ít nhất là NP-hard cho đồ thị có độ rộng đường dẫn 2, thì nó cũng là NP-hard cho đồ thị của treewidth 2 và cut thong 2. Tôi cho rằng không cung cấp nhiều chỗ .. có lẽ còn một thứ khác tốt hơn tham số hóa để cắt thưa nhất.

Tôi khá chắc chắn rằng phần cắt mỏng nhất là NP-hard trên các biểu đồ thông thường nhưng không thể tìm thấy tài liệu tham khảo.

Nhận thấy rằng tôi đã không cẩn thận khi tôi nhìn vào các giấy tờ ở trên. Kết quả độ cứng là cho cắt không thưa nhất. Việc tính toán mức cắt thưa nhất quán hoặc hằng số Cheeger rất dễ dàng trên cây (WLOG cách cắt tối ưu tách biệt một cây con). Với một chút công việc hơn cung cấp một thuật toán lập trình động để tính toán hằng số Cheeger trên các đồ thị treewidth giới hạn.

Bảng 1 trong bài 2 ở trên cũng đề cập đến một kết quả mang lại một xấp xỉ không đổi cho các đồ thị có một phụ được loại trừ.

Đối với đồ thị chi bị chặn, là tốt nhất mà dường như được biết đến là một xấp xỉ liên tục (giấy 1 trên cho trong đólà chi. $O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Sasho Nikolov
nguồn

Bạn có thể tạo bất kỳ biểu đồ nào thường xuyên bằng cách thêm các vòng lặp không?

— MCH

2

@MCH theo cách đó các đỉnh bậc lẻ vẫn giữ mức độ lẻ và các đỉnh bậc chẵn vẫn giữ nguyên độ

— Sasho Nikolov

1

Kết quả độ cứng mà bạn đề cập cho đường dẫn 2 là cho vết cắt không đồng nhất , không liên quan đến hằng số Cheeger. Thật vậy, theo như tôi có thể thấy, việc tính toán mức cắt thưa nhất quán hoặc hằng số Cheeger chính xác trong các biểu đồ của treewidth giới hạn là dễ dàng.

— Per Austrin

5

Để biết giải pháp chính xác trong đồ thị phẳng, xem Park và Phillips, STOC 93 . Điều này về cơ bản là cho sự cắt giảm nhu cầu thống nhất, với sự khác biệt nhỏ mà mẫu số của chúng là | S | thay vì | S | * | VS |. Như Per đã chỉ ra, trường hợp nhu cầu không đồng đều là khác nhau.

— Robert Krauthgamer
nguồn