Chúng ta có thể chứng minh sự chuẩn hóa yếu cho Hệ thống F bằng cách cảm ứng trên một thứ tự vô hạn

Chuẩn hóa yếu cho phép tính lambda gõ đơn giản có thể được chứng minh (Turing) bằng cách cảm ứng trên . Một phép tính lambda mở rộng với các đệ quy trên các số tự nhiên (Gentzen) có chiến lược chuẩn hóa yếu bằng cách cảm ứng trên ϵ 0 .$\omega^2$$\epsilon_0$

Hệ thống F (hoặc yếu hơn) thì sao? Có một bằng chứng bình thường hóa yếu trong phong cách này? Nếu không, nó có thể được thực hiện ở tất cả?

Khảo sát toàn diện nhất về mối quan hệ giữa lý thuyết chứng minh mang tính xây dựng (gắn liền với lý thuyết về các quy tắc xây dựng) và số học bắt buộc bậc hai (như Ulrik chỉ ra có sức mạnh tương đương với Hệ thống F) là Girard (1989). Ở đó, ông xây dựng dựa trên lý thuyết về các chất làm giãn (1981) mà tôi không thực sự tuân theo, nhưng tôi nghĩ về cơ bản cung cấp một lý thuyết phi cấu trúc về Skolemisation bậc cao.

Sự hiểu biết của tôi là bạn không thể diễn đạt công thức một cách xây dựng theo ý nghĩa của Giám mục Martin Martin Löf, bởi vì chúng không phù hợp theo cách bạn không thể loại bỏ bằng cách thêm bất kỳ loại sơ đồ cảm ứng bậc nhất nào.$\Sigma^1_2$

Tôi nhớ đề nghị với một nhà lý thuyết thứ tự rằng người ta có thể quy định đơn giản rằng bạn có thể xây dựng một kiến ​​tạo giả định trong một lý thuyết loại dựa trên phép tính lambda đa hình, và sử dụng kỹ thuật ứng cử giảm từ chứng minh SN của Girard cho Hệ thống F để áp đặt tổng thứ tự hợp lý vũ trụ của các công trình xây dựng, gọi các lớp tương đương bạn có được từ đây là các giáo phẩm; anh ta nói điều gì đó thông minh mà tôi đã nói rằng bạn có thể làm việc đó, nhưng nó sẽ có tất cả những lợi thế của việc trộm cắp so với công việc trung thực. Để làm cho nó hoạt động, nó không đủ tốt để bạn có thể chứng minh trong lý thuyết tập hợp sự tồn tại của các chức năng như vậy, bạn sẽ cần một bằng chứng xây dựng về trichotomy cho trật tự.

Tóm lại, với khái niệm thường xuyên về xây dựng trực giác do Đức Giám mục Martin Martin-Löf, tài liệu mà tôi biết mạnh mẽ cho thấy không. Nếu bạn không thích công việc thành thật và sẽ chấp nhận một sự kiến ​​tạo thiếu thuyết phục, thì tôi đoán là nó có thể được thực hiện. Một cách tự nhiên, bạn sẽ cần một lý thuyết mạnh mẽ hơn rằng Hệ thống F để chứng minh một cách xây dựng sự phân chia theo yêu cầu, nhưng Tính toán của các công trình quy nạp cung cấp một ứng cử viên rõ ràng.

Người giới thiệu

1. Girard, Jean-Yves (1981), -logic. I. Bộ mở rộng, Biên niên sử của logic toán học 21 (2): 75 trừ219.$\Pi^1_2$
2. Girard (1989) Chứng minh lý thuyết và độ phức tạp logic, tập. Tôi , Napoli: Bibliopolis. Không có tập II.

Theo một cách rất ngớ ngẩn, bình thường hóa yếu cho bất kỳ hệ thống hợp lý nào có thể được chứng minh bằng cách cảm ứng trên một quy tắc xây dựng, tất nhiên với điều kiện là chuẩn hóa yếu giữ. Thật vậy, tuyên bố rằng Hệ thống F có chuẩn hóa yếu có thể được chính thức hóa trong số học dưới dạng câu , và như vậy là có thể chứng minh được (vì nó đúng) bằng cách cảm ứng xuyên thời gian dọc theo ký hiệu không theo quy tắc xây dựng phi tự nhiên về chiều cao ω 2 . (Xem câu hỏi này trên trao đổi ngăn xếp toán học để biết cách đặt hàng này có thể hoạt động.)$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

Hy vọng rằng một ngày nào đó ai đó sẽ đưa ra một ký hiệu thứ tự cho số học bậc hai mà mọi người sẽ đồng ý là điều tự nhiên, và sau đó có thể được sử dụng một cách trung thực để chứng minh sự bình thường hóa yếu cho Hệ thống F.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Hơn nữa, tôi nghĩ số học bậc hai khá mạnh và chưa có giới hạn trên mang tính xây dựng nào được biết đến với "thứ tự lý thuyết chứng minh" ( Nghệ thuật phân tích thứ tự, phần 3 ).

Tôi nghĩ rằng giới hạn thứ tự mang tính xây dựng này là những gì cần thiết để thực hiện cảm ứng mà bạn yêu cầu.