Có logic nào mà không có cảm ứng chiếm được nhiều P không?

Các Immerman-Vardi lý khẳng định rằng ptime (hoặc P) một cách chính xác là lớp các ngôn ngữ có thể được mô tả bằng một câu của First-Order logic cùng với một nhà khai thác điểm cố định, trong lớp của cấu trúc lệnh. Toán tử điểm cố định có thể là điểm cố định ít nhất (như được xem xét bởi Immerman và bởi Vardi) hoặc điểm cố định lạm phát. (Stephan Kreutzer, tương đương ý nghĩa của nhất và lạm phát Logic điểm cố định , Annals of Pure and Applied logic 130 61-78, 2004).

Yuri Gurevich phỏng đoán rằng không có logic nắm bắt PTIME ( Logic và thách thức của khoa học máy tính , theo xu hướng hiện nay trong khoa học máy tính lý thuyết, biên tập Egon Boerger, 1 mật57, Nhà xuất bản khoa học máy tính, 1988), trong khi Martin Grohe tuyên bố ít chắc chắn hơn ( Nhiệm vụ cho việc bắt giữ logic PTIME , FOCS 2008).

Toán tử điểm cố định có nghĩa là để nắm bắt sức mạnh của đệ quy. Điểm cố định là mạnh mẽ, nhưng đối với tôi không rõ ràng là chúng cần thiết.

Có một toán tử X không dựa trên các điểm cố định, sao cho FOL + X thu được một đoạn (lớn) của PTIME?

Chỉnh sửa: Theo tôi hiểu, logic tuyến tính chỉ có thể diễn tả các tuyên bố về các cấu trúc có dạng khá hạn chế. Tôi lý tưởng muốn xem một tài liệu tham khảo hoặc một bản phác thảo về logic có thể biểu thị các thuộc tính của các tập hợp cấu trúc quan hệ tùy ý, trong khi vẫn tránh các điểm cố định. Nếu tôi sai về sức mạnh biểu cảm của logic tuyến tính thì một con trỏ hoặc gợi ý sẽ được chào đón.

Bạn muốn có một cái nhìn về cái mà một số người gọi là Định lý Grädel. Bạn có thể tìm thấy nó trong cuốn sách "Độ phức tạp tính toán" của Papadimitriou (đó là Định lý 8.4 trong trang 176) hoặc trong bài báo gốc của Grädel .

Tóm lại, Định lý của Grädel là P Định lý của Fagin đối với NP. Nó tuyên bố rằng trên lớp các cấu trúc hữu hạn có mối quan hệ kế thừa, tập hợp các thuộc tính có thể quyết định theo thời gian đa thức trùng khớp với các đặc tính có thể biểu hiện trong đoạn Sừng của logic thứ hai tồn tại. Đây là những câu của hai trật tự logic của các hình thức nơi R là một chuỗi các biến quan hệ thứ hai theo đơn đặt hàng, x là một chuỗi các biến bậc nhất, và φ là một lượng hóa -Công thức miễn phí mà khi được viết ở dạng CNF, là sự kết hợp của

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$Mệnh đề -Horn (tức là mệnh đề có nhiều nhất một nguyên tử không phủ định liên quan đến các biến trong ).$R$

Theo tôi hiểu, logic tuyến tính chỉ có thể diễn đạt các tuyên bố về các cấu trúc có dạng khá hạn chế. Tôi lý tưởng muốn xem một tài liệu tham khảo hoặc một bản phác thảo về logic có thể biểu thị các thuộc tính của các tập hợp cấu trúc quan hệ tùy ý, trong khi vẫn tránh các điểm cố định. Nếu tôi sai về sức mạnh biểu cảm của logic tuyến tính thì một con trỏ hoặc gợi ý sẽ được chào đón.

Điều này không đúng: tất cả các mạng đơn hình giao hoán còn lại là mô hình của logic tuyến tính. Đây là một cách dễ dàng để tạo ra một mạng như vậy từ các đồ thị hữu hạn. Bắt đầu với bộ

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

$(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Điều này kết hợp hai yếu tố bằng cách hợp nhất các tập hợp sở hữu của chúng, nếu các biểu đồ bằng nhau và các tập hợp sở hữu là rời rạc.

Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô hình logic tuyến tính như sau:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Mô hình này thực sự là một biến thể của những cái được sử dụng trong logic phân tách, được sử dụng rộng rãi trong việc xác minh các chương trình thao tác heap. (Nếu bạn thích, hãy nghĩ về biểu đồ như cấu trúc con trỏ của heap và sự tương tự là chính xác!)

Tuy nhiên, đây thực sự không phải là cách đúng đắn để suy nghĩ về logic tuyến tính: trực giác thực sự của nó là lý thuyết bằng chứng và mối liên hệ với sự phức tạp đến từ sự phức tạp tính toán của định lý cắt bỏ. Lý thuyết mô hình của logic tuyến tính là bóng đổ bởi lý thuyết chứng minh của nó.

Có những kết quả thú vị gần đây liên quan đến việc tìm kiếm một logic chụp PTIME. Ví dụ nổi tiếng của Cai, Fürer và Immerman cho thấy LFP + C không nắm bắt được PTIME được dựa trên một lớp biểu đồ dường như nhân tạo. Tất nhiên, nó được xây dựng cho nhiệm vụ cụ thể là thể hiện các hạn chế của LFP + C. Chỉ gần đây, Dawar đã cho thấy rằng lớp học không hề giả tạo. Nó có thể được coi là một ví dụ cho thực tế rằng LFP + C không thể giải các hệ phương trình tuyến tính!

Do đó Dawar, Grohe, Holm và Laubner đã mở rộng logic của các toán tử từ đại số tuyến tính, ví dụ bởi một toán tử để xác định thứ hạng của ma trận xác định. Kết quả xếp hạng LFP + logic có thể thể hiện chính xác hơn LFP + C, trên thực tế, không có thuộc tính PTIME nào được biết đến mà xếp hạng LFP + không thể biểu thị.

Ngay cả FO + rk cũng mạnh mẽ một cách đáng ngạc nhiên, nó có thể thể hiện sự đóng cửa chuyển tiếp xác định và đối xứng. Nó vẫn mở cho dù nó có thể biểu thị sự đóng mở bắc cầu chung của đồ thị.

Tùy thuộc vào ý nghĩa của bạn khi "nắm bắt", Logic tuyến tính mềm và thời gian đa thức của Yves Lafont có thể được quan tâm. Có một sự tương ứng 1-1 với các bằng chứng trong logic này và thuật toán PTIME lấy một chuỗi làm đầu vào và đầu ra 0 hoặc 1.

$C^*$

Một số nghiên cứu cũ hơn về vấn đề này, một lần nữa trong tĩnh mạch Logic là Jean-Yves Girard, Andre Scedrov và Philip Scott. Logic tuyến tính giới hạn: Một cách tiếp cận mô đun cho tính toán thời gian đa thức. Khoa học máy tính lý thuyết, 97 (1): 1 Từ66, 1992.

Các tác phẩm gần đây bao gồm Logic tuyến tính bị ràng buộc, được xem lại bởi Ugo Dal Lago và Martin Hofmann.