Mối quan hệ giữa tính đối xứng và tính hấp dẫn tính toán?

Các điểm -Cố vấn đề automorphism miễn phí yêu cầu một đồ thị automorphism mà di chuyển ít nhất nút. Vấn đề là -complete nếu với mọi > 0.k ( n ) N P k ( n ) = n c$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Tuy nhiên, nếu thì vấn đề là thời gian đa thức Turing có thể giảm đối với Bài toán đẳng cấu đồ thị. Nếu thì vấn đề là thời gian đa thức Turing tương đương với vấn đề Tự động hóa đồ thị trong và không được biết là -complete. Vấn đề Tự động hóa đồ thị là Turing có thể giảm đối với vấn đề Đồng phân đồ thị.k ( n ) = O ( log n / log log n ) N P I N $k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Về mức độ phức tạp của việc đếm số lượng đỉnh được di chuyển bởi tự động hóa đồ thị, Antoni Lozano và Vijay Raghavan Foundation of Technology Technology, LNCS 1530, trang 295

Dường như độ cứng tính toán tăng lên khi chúng ta tăng tính đối xứng của đối tượng mà chúng ta đang cố gắng tìm (như được chỉ ra bởi số lượng nút phải được di chuyển bởi tính tự động). Có vẻ như điều này có thể giải thích việc thiếu thời gian đa thức Giảm Turing từ phiên bản hoàn chỉnh NP sang Tự động hóa đồ thị (GA)

Có một ví dụ khác về một vấn đề khó hỗ trợ mối quan hệ này giữa tính đối xứng và độ cứng?

Đây không chính xác là mối quan hệ "giống nhau" giữa tính đối xứng và độ cứng, nhưng có mối quan hệ chặt chẽ giữa tính đối xứng của hàm Boolean và độ phức tạp của mạch. Xem:

Babai, L., Beals, R. và Takácsi-Nagy, P. Đối xứng và phức tạp , STOC 1992.

Đây là những gì họ thể hiện. Đặt là một chuỗi các nhóm hoán vị. Gọi s ( G i ) biểu thị số lượng quỹ đạo của G i trong hành động cảm ứng của nó trên { 0 , 1 } i (bằng hoán vị của tọa độ). Đặt F ( G ) biểu thị lớp ngôn ngữ L sao cho L ∩ { 0 , 1 } n là bất biến dưới G n . Sau đó, tất cả các ngôn ngữ trong $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ có các mạch có kích thước tối đa p o l y ( s ( G ) ) và độ sâu tối đa p o l y ( log ( s ( G ) ) , và điều này về cơ bản là chặt chẽ.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

Ở chiều ngược lại, một số vấn đề có bộ nhân chứng có rất nhiều đối xứng cuối cùng nằm trong c o A M (như G I ), và do đó không phải là N P -complete trừ khi P H sụp đổ. Trên thực tế, bài báo sau đây cho thấy các vấn đề N P có bộ nhân chứng có rất nhiều đối xứng là thấp đối với P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodframran, NV Độ phức tạp đếm của các ngôn ngữ có thể xác định được theo nhóm . Định lý. Tính toán. Khoa học. 242 (2000), số 1-2, 199--218.

$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$$NP$$PP$

$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Cuối cùng, chương trình Lý thuyết độ phức tạp địa chất Mulmuley-Sohoni về cơ bản là sử dụng tính đối xứng để chứng minh độ cứng, mặc dù kết nối đối xứng - độ cứng có tinh tế hơn và ít trực tiếp hơn.

Các trường hợp SAT có cấu trúc, thể hiện rất nhiều đối xứng, có vẻ dễ giải quyết hơn các trường hợp SAT ngẫu nhiên. Việc mã hóa các vấn đề trong thế giới thực vào SAT luôn làm tăng các trường hợp có cấu trúc (điều này không đáng ngạc nhiên, vì các vấn đề trong thế giới thực mà chúng ta gặp phải có sự đối xứng). Các bộ giải SAT hoàn chỉnh tốt nhất có thể giải quyết hiệu quả các trường hợp trong thế giới thực với tối đa 1.000.000 biến, nhưng không ai trong số chúng, theo như tôi biết, có thể giải quyết hiệu quả các trường hợp ngẫu nhiên với 10.000 biến (trên Edward A. Hirsch trang chủ có thể tìm thấy một số trường hợp ngẫu nhiên nhỏ đáng ngạc nhiên, trong đó ngay cả những người giải SAT hoàn chỉnh tốt nhất cũng bị mắc kẹt). Do đó, từ quan điểm thực nghiệm, sự hiện diện của các đối xứng dường như làm giảm độ cứng.