Nếu một cỗ máy trừu tượng có thể tự mô phỏng, điều đó có làm cho nó Turing hoàn thành không?

Ví dụ, trong các ngôn ngữ lập trình, người ta thường viết trình biên dịch / trình thông dịch X-in-X, nhưng ở cấp độ tổng quát hơn, nhiều hệ thống hoàn chỉnh Turing có thể tự mô phỏng theo những cách ấn tượng (ví dụ: mô phỏng Trò chơi cuộc sống của Conway trong Trò chơi cuộc sống của Conway ).

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: một hệ thống có thể tự mô phỏng đủ để chứng minh Turing hoàn thành không? Nó chắc chắn là một điều kiện cần thiết.

Không cần thiết. Chẳng hạn, thiết bị tự động di động khối hai chiều với hai trạng thái, trong đó một tế bào chỉ sống khi bốn tế bào tiền thân của nó có chính xác hai tế bào sống liền kề, có thể tự mô phỏng với hệ số hai chậm và hệ số hai kích thước, nhưng không được biết là Turing hoàn chỉnh. Xem Máy tự động di động giống như tế bào B36 / S125 của 2x2 của Nathaniel Johnston để biết thêm về khối tự động khối này và về quy tắc B36 / S125 cho vùng lân cận Moore cũng có khả năng mô phỏng khối tự động này.

Không, không phải vậy. Tôi biết hai lớp kỹ thuật chính để tránh sự không nhất quán / Turing hoàn chỉnh.

1. Dòng tấn công đầu tiên là thiết lập hệ thống sao cho cú pháp có thể được xác định, nhưng định lý điểm cố định của Godel không đi qua. Dan Willard đã làm việc nhiều về vấn đề này và đưa ra các hệ thống logic tự kiểm chứng nhất quán. Bí quyết là loại bỏ các ký hiệu hàm nhân và phép cộng, và thay thế chúng bằng phép chia và phép trừ. Điều này cung cấp cho bạn đủ mã lực để biểu diễn cú pháp một cách hợp lý, nhưng định lý điểm cố định không đi qua vì phép nhân không phải là tổng số có thể chứng minh được.

   Xem Dan Willard. Các hệ thống Axiom tự kiểm chứng, Định lý không đầy đủ và các nguyên tắc phản ánh có liên quan . Tạp chí Logic tượng trưng 66 (2001) trang 536-596.

2. Dòng tấn công thứ hai cho phép sử dụng nhiều điểm cố định hơn, nhưng để thiết lập mọi thứ sao cho cú pháp không hợp lý. Các hệ thống đẹp nhất cho điều này là (IMO) dựa trên các biến thể của logic tuyến tính. Ví dụ, trong Lý thuyết tập hợp ánh sáng của Kazushige Terui, ngay cả nguyên tắc hiểu toàn bộ không bị hạn chế là âm thanh, nhưng vì logic xung quanh của lý thuyết tập hợp là tuyến tính (và do đó không cho phép co lại), nghịch lý của Russell không thể có được.

   $A \multimap B$

   Kazushige Terui. Lý thuyết tập hợp affine ánh sáng: Một lý thuyết tập hợp ngây thơ về thời gian đa thức. Logia Logica, Tập. 77, số 1, trang 9-40, 2004.

   Tôi nghĩ rằng bài viết này dễ tiếp cận hơn sau khi đọc bài báo sau của Yves Lafont:

   Y. Lafont, Logic tuyến tính mềm và thời gian đa thức , Khoa học máy tính lý thuyết 318 (vấn đề đặc biệt về độ phức tạp tính toán tiềm ẩn) p. 163-180, Elsevier (2004)

   Lý thuyết tập hợp của Terui rất biểu cảm, nhưng thật khó để so sánh với các lý thuyết tập hợp truyền thống, vì các quy tắc lý thuyết bằng chứng không phải là một công cụ tốt để so sánh các hệ thống rất yếu. Ví dụ, lý thuyết tập hợp của Terui rõ ràng không thể chứng minh được tổng lũy ​​thừa, và do đó sức mạnh lý thuyết bằng chứng của nó thậm chí không thể đạt tới . Các lớp phức tạp có lẽ tốt hơn - nó hoàn thành cho polytime (nó có thể chứng minh mọi tổng hàm đa thời gian, nhưng không nhiều hơn).$\omega$

   Tôi có xu hướng nghĩ về các loại hệ thống này như là bằng chứng về khái niệm cho ý tưởng rằng lý thuyết phức tạp có thể đóng vai trò là nền tảng cho một số loại siêu cực đoan nhất định.

Hãy xem xét các mô hình máy sau đây. Máy có mã , khi nhập , luôn xuất .x $i$$x$$0$

Lưu ý rằng bất kỳ máy trong mô hình này là phổ quát, vì với mọi .M ( ⟨ ⌜ M ' ⌝ , x ⟩ ) = M ' ( x ) = $M$$M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$$M', x$

Điều này rõ ràng là không hoàn thành Turing nhưng cũng rõ ràng có máy móc phổ quát.