Tính khoảng cách với xấp xỉ nhỏ hơn 2 trong đồ thị chung?

Đưa ra một đồ thị vô hướng có trọng số với các cạnh $m = o(n^2)$ , tôi muốn tính khoảng cách gần đúng nhỏ hơn 2 giữa bất kỳ cặp đỉnh nào. Tất nhiên, tôi muốn sử dụng không gian truy vấn con và thời gian truy vấn con.

Tôi biết kết quả của Zwick sử dụng phép nhân ma trận, nhưng tôi tò mò liệu có thuật toán tổ hợp nào được biết cho vấn đề này không?

ds.algorithms graph-algorithms

— Siddhartha
nguồn

Xin chào @Siddhartha, tôi xin lỗi nếu đây là một câu hỏi ngớ ngẩn: Kết quả của Zwick dường như sử dụng không gian bậc hai, điều đó có đúng không?

— Hsien-Chih Chang 張顯

Ngoài ra, lỗi phụ gia có được phép không?

— Hsien-Chih Chang 張顯

@ Hsien-ChihChang 張顯 - Tôi chỉ quan tâm đến kết quả về phép tính gần đúng nhân. Trường hợp gần đúng phụ gia có thể thú vị theo cách riêng của nó - dễ dàng hơn cho các biểu đồ dày đặc, tôi đoán. Người ta có thể sử dụng một cờ lê và lấy xấp xỉ phụ gia cho các biểu đồ đủ dày đặc. Đối với các biểu đồ thưa thớt, theo như tôi biết, spanners sẽ không giúp được gì.

— Siddhartha

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sariel Har-Peled

Cảm ơn Sariel - có thể lấy được ràng buộc thấp hơn nhưng tôi ổn với điều đó. Tất cả những gì tôi muốn có là không gian truy vấn con và thời gian truy vấn con. Đối với các biểu đồ có cạnh , giới hạn dưới không nói lên điều gì cho vấn đề - điều đó có đúng không?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

Câu trả lời:

Theo như tôi biết, không có kết quả được công bố nào về khoảng cách tính toán xấp xỉ dưới 2 trong không gian truy vấn con và thời gian truy vấn con. Để truy xuất khoảng cách gần đúng một cách nhanh chóng, bạn có thể muốn xem kết quả và tài liệu tham khảo trong "Thuật toán nhanh hơn cho tất cả các cặp đường dẫn gần đúng nhất" của Baswana và Kavitha (phiên bản tạp chí của bài báo FOCS của họ có đánh giá tốt về công việc liên quan); không ai trong số này đạt được không gian subquadratic.

Để thu gọn khoảng cách gần đúng, bạn có thể muốn xem kết quả và tài liệu tham khảo trong hai bài viết trên. [Ngoài câu trả lời của Gabor, một lời cảnh báo: hãy cẩn thận về khái niệm về độ thưa thớt trong các bài viết trên - đối với xấp xỉ , một biểu đồ được cho là thưa thớt nếu , như bạn có lẽ đã biết rồi]. $2$ $m = o(n^2)$

Như Sariel đã chỉ ra trong một trong những ý kiến ở trên, giới hạn tự nhiên thấp hơn về không gian để tính toán khoảng cách gần đúng dưới là , nghĩa là tuyến tính theo kích thước của biểu đồ. Nếu thời gian truy vấn không bị giới hạn, không thể cải thiện giới hạn dưới này (một cách tầm thường, người ta có thể sử dụng thuật toán đường dẫn ngắn nhất bằng cách chỉ lưu trữ biểu đồ). Đối với thời gian truy vấn liên tục, tôi biết về hai giới hạn dưới. Đầu tiên, Patrascu và Roddity có một số giới hạn thấp hơn có điều kiện trong bài báo FOCS 2010 của họ áp dụng cho xấp xỉ dưới . Thứ hai, Sommer et. al. có một số giới hạn thấp hơn cho các biểu đồ cực kỳ thưa thớt. Tôi không nhận thức được bất kỳ giới hạn thấp hơn (không tầm thường) khác. $2$ $\Omega(m)$ $2$

Về giới hạn trên, kết quả từ các bài viết trên dường như không khái quát đến xấp xỉ dưới . Gần đây chúng tôi đã thực hiện một số tiến bộ về vấn đề này. Bài viết sẽ sớm có trên ArXiv, nhưng nếu bạn thích, hãy gửi cho tôi một e-mail và tôi sẽ rất vui khi được chia sẻ bài báo. $2$

Hi vọng điêu nay co ich.

~ Rạch Agarwal

— Rạch
nguồn

Bạn có thể quan tâm đến bài báo INFOCOM 2011 của Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Truy vấn khoảng cách gần đúng và định tuyến nhỏ gọn trong đồ thị thưa thớt, IEEE INFOCOM 2011

Từ tóm tắt:

[Đối với biểu đồ] có mức độ trung bình , các trường hợp đặc biệt của cấu trúc dữ liệu của chúng tôi truy xuất 2 đường dẫn có không gian [...] với chi phí thời gian truy vấn . $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Lưu ý rằng nhà tiên tri khoảng cách của họ chỉ dành cho đồ thị thưa thớt, nhưng mức độ logarit ràng buộc có vẻ hợp lý. Đã thêm tiền thưởng, thuật toán cũng hoạt động cho các biểu đồ có trọng số.

— Gabor Retvari
nguồn

Bạn cũng có thể muốn xem qua

Pătraşcu, Roditty, Khoảng cách xa hơn Thorup - Giới hạn Zwick , FOCS 2010

Chúng có một khoảng cách có kích thước với độ dài 2. Nó hỗ trợ các truy vấn trong thời gian không đổi. $O(n^{5/3})$

— zotachidil
nguồn

Cảm ơn! Bài báo từ Agrawal và Mihai dường như không nói gì về xấp xỉ "ít hơn" 2, trừ khi tôi bỏ lỡ điều gì đó.

— Siddhartha

Không, nhưng nó có thể cho bạn ý tưởng về cách có được sự đánh đổi để cải thiện sự kéo dài.

— zotachidil