Mạch số học đơn điệu

Trạng thái kiến ​​thức của chúng tôi về các mạch số học nói chung dường như tương tự như trạng thái hiểu biết của chúng tôi về các mạch Boolean, tức là chúng tôi không có giới hạn thấp. Mặt khác, chúng ta có giới hạn kích thước theo cấp số nhân cho các mạch Boolean đơn điệu .

Chúng ta biết gì về các mạch số học đơn điệu ? Chúng ta có giới hạn tốt tương tự cho họ? Nếu không, sự khác biệt cơ bản không cho phép chúng ta có được các giới hạn thấp hơn tương tự cho các mạch số học đơn điệu là gì?

Câu hỏi được lấy cảm hứng từ ý kiến ​​về câu hỏi này .

Giới hạn thấp hơn cho các mạch số học đơn điệu trở nên dễ dàng hơn vì chúng cấm hủy bỏ. Mặt khác, chúng ta có thể chứng minh các giới hạn dưới theo cấp số mũ cho các mạch tính toán các hàm boolean ngay cả khi bất kỳ hàm có giá trị thực đơn điệu nào được phép làm cổng (xem ví dụ Sect. 9.6 trong sách ).$g:R\times R\to R$

Mặc dù các mạch số học đơn điệu yếu hơn các mạch boolean đơn điệu (sau này chúng ta đã hủy và ), các mạch này rất thú vị vì liên quan đến lập trình động ( Thuật toán DP). Hầu hết các thuật toán như vậy có thể được mô phỏng bằng các mạch qua bán kết$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$ hoặc$(+,\max)$. Gates sau đó tương ứng với các bài toán con được sử dụng bởi thuật toán. Điều mà Jerrum và Snir (trong bài báo của V Vinay) thực sự chứng minh là bất kỳ thuật toán DP nào cho Kết hợp hoàn hảo tối thiểu (cũng như đối với vấn đề TSP) phải tạo ra nhiều bài toán con theo cấp số nhân. Nhưng vấn đề Toán học hoàn hảo không phải là "lỗ hổng DP" (nó không thỏa mãn Nguyên tắc Tối ưu của Bellman ). Lập trình tuyến tính (không phải DP) phù hợp hơn nhiều cho vấn đề này.

Vậy những vấn đề tối ưu hóa có thể được giải quyết bằng các thuật toán DP nhỏ hợp lý - chúng ta có thể chứng minh giới hạn thấp hơn cho chúng không? Rất thú vị về mặt này là một kết quả cũ của Kerr (Định lý 6.1 trong phd của anh ấy ). Nó ngụ ý rằng thuật toán Floyd-Warshall DP cổ điển cho bài toán Đường dẫn ngắn nhất cho tất cả các cặp (APSP) là tối ưu : các bài toán con là cần thiết. Điều thú vị hơn nữa là đối số của Kerr rất đơn giản (đơn giản hơn nhiều so với Jerrum và Snir đã sử dụng): nó chỉ sử dụng tiên đề phân phối và khả năng "tiêu diệt" các cổng nhỏ bằng cách đặt một trong các đối số của nó thành Cách này chứng minh rằng$\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$các cổng cộng là cần thiết để nhân hai ma trận trong nửa cung . Trong môn phái. 5,9 cuốn sách của Aho, Hopcroft và Ullman cho thấy vấn đề này tương đương với vấn đề APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Một câu hỏi tiếp theo có thể là: còn vấn đề về Đường dẫn ngắn nhất một nguồn (SSSP) thì sao? Thuật toán Bellman-Ford DP cho vấn đề này (có vẻ "đơn giản hơn") cũng sử dụng . Điều này có tối ưu không? Cho đến nay, không có sự tách biệt giữa hai phiên bản của vấn đề đường đi ngắn nhất được biết đến; xem một bài báo thú vị của Virginia và Ryan Williams dọc theo những dòng này. Vì vậy, một giới hạn thấp hơn trong -circuits cho SSSP sẽ là một kết quả tuyệt vời. Câu hỏi tiếp theo có thể là: những gì về giới hạn thấp hơn cho Knapsack? Trong dự thảo này, giới hạn thấp hơn cho Knapsack được chứng minh trong mô hình yếu hơn của các mạch trong đó việc sử dụng$O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-gates bị hạn chế; trong Phụ lục Bằng chứng của Kerr được sao chép.

Vâng. Chúng tôi biết giới hạn dưới tốt và chúng tôi đã biết chúng từ khá lâu rồi.

Jerrum và Snir đã chứng minh một giới hạn thấp hơn theo cấp số nhân đối với các mạch số học đơn điệu cho vĩnh viễn vào năm 1980. Valiant cho thấy ngay cả một cổng trừ cũng mạnh hơn theo cấp số nhân .

Để biết thêm về các mạch số học (đơn điệu), hãy xem khảo sát của Shpilka về các mạch số học.

$2k$$k$

Liệu đếm này: -nửa nhóm Chazelle của thấp hơn giới hạn cho các vấn đề cơ bản phạm vi-tìm kiếm (trong bối cảnh ẩn). Tất cả các giới hạn dưới là gần như tối ưu (lên đến các điều khoản log khi các giới hạn dưới là đa thức và các điều khoản log log khi giới hạn dưới là polylogarithmic).