Phân rã một hàm dưới

Với một hàm submodular trên Ω = X 1 ∪ X 2 nơi X 1 và X 2 là rời nhau và f ( S ) = f 1 ( S ∩ X 1 ) + f 2 ( S ∩ X 2 ) . Ở đây f 1 và f 2 lần lượt là mô đun con trên X 1 và X 2 .$f$$\Omega=X_1\cup X_2$$X_1$$X_2$$f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$$f_1$$f_2$$X_1$$X_2$

Ở đây không xác định và chỉ có quyền truy cập truy vấn giá trị đến f . Sau đó, có một thuật toán polytime tìm X 1 . Nếu có nhiều lựa chọn cho X 1 thì bất kỳ lựa chọn nào cũng được.$X_1,X_2,f_1,f_2$$f$$X_1$$X_1$

Một vài suy nghĩ. Nếu chúng ta có thể tìm thấy bất kỳ hai phần tử sao cho cả hai đều thuộc về X 1 hoặc thuộc về X 2 thì chúng ta có thể hợp nhất chúng và tiến hành đệ quy. Nhưng không rõ làm thế nào để thực hiện một bước như vậy.$t_1,t_2$$X_1$$X_2$

$e \in \Omega$$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$$e$$X_1 = \{e\}$$X_2 = \Omega-\{e\}$$X$$\Omega-e$$f(e) > f_X(e)$$X \cup \{e\}$$X \cup \{e\} = \Omega$