Công dụng của XORification

XORification là kỹ thuật để làm cho hàm Boolean hoặc công thức khó hơn bằng cách thay thế mọi biến bằng XOR của biến khác biệt . k ≥ 2 x 1 ⊕ ... ⊕ x $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

Tôi nhận thức được việc sử dụng kỹ thuật này trong độ phức tạp của bằng chứng, chủ yếu là để đạt được giới hạn không gian thấp hơn cho các hệ thống chứng minh dựa trên độ phân giải, ví dụ, trong các bài báo:

• Eli Ben-Sasson. Kích thước không gian đánh đổi cho độ phân giải. STOC 2002, 457-464.
• Eli Ben-Sasson và Jakob Nordstrom. Hiểu không gian trong độ phức tạp bằng chứng: Tách biệt và đánh đổi thông qua các thay thế. ICS 2011, 401-416.

Có những ứng dụng khác của kỹ thuật này trong các lĩnh vực khác?

Đây là một ví dụ có liên quan mà chúng tôi hiện đang trình bày trong lớp của tôi.

"Chức năng truy cập lưu trữ" được xác định trên các bit là:$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

trong đó là số nguyên duy nhất trong tương ứng với chuỗi .{ 1 , Mạnh , 2 k } a 1 ⋯ a $bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

$SA$ có các công thức có kích thước khoảng trên AND / OR / NOT: có nhóm của tất cả các -AND có thể trên các biến , sao cho chính xác một nhóm xuất trên mỗi đầu vào. Sau đó VÀ từng bit với đầu ra của nhóm tương ứng, sau đó HOẶC tất cả các đầu ra này.2 k k một i 1 x $O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$$1$$x_i$

Tuy nhiên, hàm "SA của XOR" sau đây, trên các đầu vào , yêu cầu khoảng kích thước công thức trên AND / OR / NOT: 2 3 $2^{k+1}$$2^{3k}$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$ .

Điều này thường được gọi là "chức năng của Andreev" trong tài liệu. Hastad đã chứng minh (cải thiện một thành phần trong lập luận của Andreev) rằng các công thức kích thước khối về cơ bản là cần thiết. (Không khó để tìm thấy các công thức gần như khối cho nó.)

Đây có thể là một tầm với nhỏ, nhưng ý tưởng về XOR là một loạt các thứ để thực hiện một nhiệm vụ "khó hơn" xuất hiện trong mật mã. Nó lần đầu tiên xuất hiện trong vỏ bọc bổ đề XOR của Yao . Nếu là một biến ngẫu nhiên một chút không thể đoán trước, sau đó là cực kỳ khó lường nếu là đủ lớn, nơi 's là thu hút độc lập của .Y = X 1 ⊕ X 2 ⊕ ⋯ ⊕ X k k X i$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

Ngày nay, kỹ thuật này khá chuẩn trong tiền điện tử, điển hình là khuếch đại một cấu trúc yếu (sơ đồ cam kết, giao thức chuyển giao lãng quên, v.v.) thành một thế mạnh.