Kết nối các ô theo hoán vị dòng và cột trong một lưới hữu hạn

Tôi muốn biết liệu vấn đề đơn giản sau đây đã được nghiên cứu hay chưa và liệu có giải pháp nào được biết không.

Đặt G là lưới hữu hạn (MxN), S là tập con của các ô G ("mẩu vụn"). Hai mảnh vụn được gọi là (cục bộ) được kết nối nếu tọa độ của chúng khác nhau nhiều nhất là một (nghĩa là, nếu được vẽ dưới dạng hình vuông, chúng chia sẻ ít nhất một điểm góc).

Bây giờ, người ta có thể cố gắng kết nối các mẩu vụn (toàn bộ chúng) bằng cách hoán vị các dòng và các cột của lưới. Nói cách khác, mục tiêu là đưa ra một hoán vị của các dòng và hoán vị của các cột sao cho bất kỳ hai mảnh vụn nào trong lưới kết quả được kết nối bằng một chuỗi các mảnh vụn được kết nối (cục bộ).

Câu hỏi: luôn luôn có một giải pháp?

Tôi không biết làm thế nào để tấn công nó. Để không có ý tưởng tốt hơn, tôi đã viết một chương trình thô tìm kiếm các giải pháp bằng vũ lực (nó tạo ra các hoán vị ngẫu nhiên và kiểm tra xem lưới kết quả có được nối các mảnh vụn không). Cho đến nay, chương trình luôn tìm thấy các giải pháp trên các lưới nhỏ (10 x 10 hoặc 7x14) và các lưới lớn hơn rõ ràng nằm ngoài tầm với của chiến lược đơn giản của nó (sẽ mất quá nhiều thời gian để vấp ngẫu nhiên trong một giải pháp).

Dưới đây là một ví dụ về lưới được giải quyết bởi chương trình:

Lưới ban đầu (mảnh vụn được ký hiệu là X, ô trống bằng dấu chấm):

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

Giải pháp:

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

Đương nhiên, vấn đề có thể dễ dàng được khái quát hóa cho bất kỳ chiều nào d> 2. Tôi cho rằng các khái quát khác có thể được xem xét.

Cảm ơn trước,

David David

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— David David
nguồn

vấn đề thú vị. Có ứng dụng nào không?

— Suresh Venkat

@Tsuyoshi: bạn nói đúng con số tôi đã đăng có một giải pháp (giải pháp bạn cung cấp). Tôi đã xóa nó.

— Marzio De Biasi

Đồng thời crosspost được khuyến khích. math.stackexchange.com/questions/83231/ ích

— Tsuyoshi Ito

Hãy thử một đối số đếm tương tự với đối số trong phiên bản trước của câu trả lời của tôi, cẩn thận hơn.

$n^2 2^{5q}$ $n^2$ $5q$ $n^2 2^{5q} (n!)^2$

$c$ $\binom{n}{c}^n$ $c$ $\exp(cn\log n-O(n))$ $q=cn$ $\exp(2n\log n+O(cn))$ $c>2$

— David Eppstein
nguồn

Đặt và bỏ qua các điều khoản , tôi đã theo đuổi bất đẳng thức của bạn để tìm điểm "hòa vốn", nhận . Giá trị sau này gần đáng kể với 26608.

c = 3

$c=3$

o (n)

$o(n)$

n > 6 * 2^{15} / e^{2}

$n > 6*2^{15}/e^2$

— hardmath

Đó là một sự trùng hợp ngẫu nhiên về số. Tôi đã hỏi về điều đó tại mathoverflow.net/questions/81368/ từ

— David Eppstein

Đó thực sự là một bằng chứng thanh lịch và thuyết phục. (Tôi đã mất một chút thời gian để chi tiết các xấp xỉ vì lợi ích của riêng tôi.) Vẫn còn phải xem liệu có ai sẽ quản lý để đưa ra một ví dụ phản biện cụ thể hay không. Nhận xét của @ hardmath ở trên cho thấy nó có thể khó khăn (CE sẽ là một con thú xấu xí); bây giờ người ta không cần phải có cùng số lượng vụn trong tất cả các hàng của CE.

— Yann David